Orthogonalität und Kollinearität

 Die Winkelformel und die Ungleichung von Cauchy-Schwarz motivieren die folgenden Begriffsbildungen:

Definition (orthogonal, aufeinander senkrecht stehen)

Seien v, w  ∈  ℝ2. Wir sagen, dass v und w orthogonal sind oder aufeinander senkrecht stehen, falls 〈 v, w 〉 = 0.

Definition (kollinear, parallel, antiparallel)

Seien v, w  ∈  ℝ2. Wir nennen die Vektoren v und w

kollinear, falls |〈 v, w 〉|  =  ∥v∥ ∥w∥,
parallel, falls 〈 v, w 〉  =  ∥v∥ ∥w∥,
antiparallel, falls 〈 v, w 〉  =  − ∥v∥ ∥w∥.

 Nach der Winkelformel gelten für alle v, w  ∈  ℝ2 mit v, w ≠ 0 und φ = ∡(v, w) folgende Äquivalenzen:

v, w sind orthogonal genau dann, wenn φ = π/2
v, w sind kollinear genau dann, wenn φ = 0 oder φ = π
v, w sind parallel genau dann, wenn φ = 0
v, w sind antiparallel genau dann, wenn φ = π

Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist. Ist ein derartiger Skalar positiv, so sind die Vektoren parallel. Ist er negativ, so sind die Vektoren antiparallel. Genau für kollineare Vektoren wird die Ungleichung von Cauchy-Schwarz zu einer Gleichung.

 Aus der Winkelformel lesen wir zudem ab, dass für alle Vektoren v, w  ∈  ℝn und φ = ∡(v, w) gilt:

〈 v, w 〉  >  0 genau dann, wenn φ  ∈  [ 0, π/2 [  (spitzer Winkel)
〈 v, w 〉  <  0 genau dann, wenn φ  ∈  ] π/2, π ]  (stumpfer Winkel)

Es genügt also, das Vorzeichen des Skalarprodukts zu kennen, wenn wir wissen wollen, ob zwei Vektoren einen spitzen, rechten oder stumpfen Winkel einschließen.

Beispiele

(1)

Die Vektoren (1, 2) und (−2, 1) sind orthogonal, da

〈 (1, 2), (−2, 1) 〉  =  − 2 + 2  =  0.

(2)

Die Vektoren (1, 2) und (2, 4) sind kollinear und genauer parallel, da der zweite Vektor ein skalares Vielfaches des ersten mit einem positiven Skalar ist (sodass ∡(v, w) = 0). Alternativ können wir auch rechnen:

〈 (1, 2), (2, 4) 〉  =  2 + 8  =  10

∥ (1, 2) ∥ ∥ (2, 4) ∥  =  5 20  =  100  =  10

(3)

Der Nullvektor ist nach Definition orthogonal und kollinear zu jeden Vektor v (obwohl der Winkel zwischen v und 0 nicht erklärt ist).

(4)

Die Vektoren (2, 1) und (−2, 3) schließen einen stumpfen Winkel ein, da ihr Skalarprodukt negativ ist:

〈 (2, 1), (−2, 3) 〉  =  − 4 + 3  =  −1  <  0.