Höhere Dimensionen und komplexe Vektoren
Wir haben uns hier auf den anschaulichen Fall der Euklidischen Ebene ℝ2 konzentriert. Die Definitionen und Ergebnisse bleiben unverändert für die Vektorräume ℝn mit einer beliebigen Dimension n ≥ 1 gültig. Für alle n ≥ 1 und alle v, w ∈ ℝn gilt:
cos(φ) = 〈 v̂, ŵ 〉 = 〈 v, w 〉∥v∥ ∥w∥, φ = arccos(〈 v̂, ŵ 〉)
Oft wird diese Formel sogar zur Definition des zwischen zwei Vektoren des ℝn eingeschlossenen Winkels verwendet. Für die Dimensionen n > 3 ist ja im Gegensatz zu den Dimension n = 2 und n = 3 elementargeometrisch nicht mehr klar, was dieser Winkel überhaupt sein soll.
Die Definitionen „orthogonal, kollinear, parallel, antiparallel“ können unverändert übernommen werden. Das Gleiche gilt für die Projektion
pru(v) = 〈 û, v 〉 û.
Sie erzeugt in jeder Dimension ein skalares Vielfaches von u, und der Differenzvektor v − pru(u) steht immer senkrecht auf u. Unser zweiter Beweis verwendet nur allgemeine Eigenschaften des Skalarprodukts und kann deswegen unverändert übernommen werden.
Im Komplexen verwenden wir das kanonische Skalarprodukt
〈 v, w 〉 = v1 w1 + … + vn wn für alle v, w ∈ ℂn
mit der Konjugation in der ersten Komponente. Damit kann die Orthogonalität von v, w ∈ ℂn erneut definiert werden durch
〈 v, w 〉 = 0.
Die orthogonale Projektion auf einen Vektor u ∈ ℂn lässt sich ebenfalls wieder durch
pru(v) = 〈 û, v 〉 û für alle v ∈ ℂn
erklären. Schwieriger ist die Definition eines Winkels zwischen zwei komplexen Vektoren. Eine Möglichkeit ist, einen reellen Winkel φ ∈ [ 0, π ] zwischen zwei Vektoren v, w ∈ ℂn durch
cos(φ) = Re(〈 v̂, ŵ 〉), φ = arccos(Re(〈 v̂, ŵ 〉))
einzuführen. Alternativ können komplexe Winkel durch cos(φ) = 〈 v̂, ŵ 〉 unter Verwendung der komplexen Kosinusfunktion cos : ℂ → ℂ mit
cos(z) = (exp(iz) + exp(−iz))/2 für alle z ∈ ℂ
definiert werden.