Affine Geraden
Definition (affine Gerade)
Eine Menge G ⊆ ℝn heißt eine affine Gerade, falls sie von der Form
G = w + span(u) mit u ≠ 0
ist. Wir nennen w einen Aufsatzpunkt und u einen Richtungsvektor von G.
Anschaulich entsteht eine affine Gerade durch die Verschiebung einer Geraden span(u) durch den Nullpunkt um einen Vektor w. Der Translationsvektor w wird dabei zum Aufsatzpunkt, die Richtung u bleibt gleich. Es gilt
| G | = w + span(u) |
| = { w + λu | λ ∈ ℝ } | |
| = { (w1 + λu1, …, wn + λun) | λ ∈ ℝ }. |
Die Translation der Geraden U = span(u) = span((2, 1))
um den Vektor w = (1, 2) ergibt die affine Gerade
G = w + span(u) = (1, 2) + { λ (2, 1) | λ ∈ ℝ } = { (1 + 2λ, 2 + λ) | λ ∈ ℝ }
Aufsatzpunkt und Richtungsvektor einer affinen Geraden G = w + span(u) sind nicht eindeutig bestimmt. Für alle w′ ∈ w + span(u) und alle α ∈ ℝ mit α ≠ 0 gilt
w + span(u) = w′ + span(αu).
Jeder Punkt der Geraden kann als Aufsatzpunkt dienen und jede Skalierung des Richtungsvektors erhält die Gerade, wenn der verwendete Skalar von 0 verschieden ist.
Beispiele
(1) | Für U und W wie im Diagramm oben gilt zum Beispiel G = w + span(u) = (w + u) + span(u) = (3, 3) + span(u) = (3, 3) + span(2u) = (3, 3) + span(−u) |
(2) | Für die zur x-Achse parallele affine Gerade G durch den Punkt (0, 2) gilt zum Beispiel G = (0, 2) + span(e1) = (1, 2) + span(e1) = (−7, 2) + span(3e1) In Parameterdarstellung können wir schreiben G = { (0, 2) + λ(1, 0) | λ ∈ ℝ } = { (λ, 2) | λ ∈ ℝ }. |
Parametrisierte Geraden, Halbgeraden und Strecken durch zwei Punkte
Seien v, w ∈ ℝn mit v ≠ w. Weiter sei u = v − w. Dann haben wir die folgenden Darstellungen der durch v und w definieren Geraden, Halbgeraden und Strecke:
{ w + λu | λ ∈ ℝ }(Gerade durch w und v)
{ w + λu | λ ≥ 0 }(Halbgerade oder Strahl von w in Richtung u)
{ w − λu | λ ≥ 0 }(Halbgerade oder Strahl von w in Richtung − u)
{ w + λu | λ ∈ [ 0, 1 ] }(Strecke von w nach v)
Speziell ist w + (1/2) u = 1/2 (w + v) der Mittelpunkt der Strecke von w nach v.
Die Strecke S = { w + λ u | λ ∈ [ 0, 1 ] } für u = v − w.
Der Mittelpunkt von S ist w′ = w + (1/2) u = 1/2 (w + v). Der Punkt w′ ist der Schnittpunkt der Diagonalen des von w und v aufgespannten Parallelogramms.