Die Hesse-Normalform einer affinen Geraden
Wir betrachten eine affine Gerade G ⊆ ℝ2 in der Form
G = { (x, y) ∈ ℝ2 | a x + b y + c = 0 }.
Durch eine Division der Gleichung durch ∥ (a, b) ∥ bzw. − ∥ (a, b) ∥ können wir erreichen, dass ∥ (a, b) ∥ = 1 und c ≤ 0. Die eindeutige Darstellung von G mit diesen Eigenschaften heißt die Hesse-Normalform von G. Bei einer Hesse-Normalform hat der Normalenvektor (a, b) also die Länge 1 und der konstante Term ist kleinergleich Null (und damit größergleich 0, wenn er auf die rechte Seite gebracht wird).
Beispiel
Wir betrachten die durch die Geradengleichung
3 x − 4 y + 10 = 0
definierte Gerade G. Der Normalenvektor (3, − 4) von G hat die Länge ∥ (3, 4) ∥ = 5. Die Hesse-Normalform von G lautet also
−(3/5) x + (4/5) y − 2 = 0.
Sei nun v = (v1, v2) ein beliebiger Punkt der Ebene ℝ2. Wir berechnen die orthogonale Projektion prG(v) ∈ ℝ2 von v auf G. Dabei wird sich erneut eine Formel für den Abstand d(v, G) ergeben. Der Vektor prG(v) ist bestimmt durch die zwei Eigenschaften:
(i) | v − prG(v) und (a, b) sind kollinear |
(ii) | prG(v) ∈ G |
Wir suchen also x, y, λ ∈ ℝ mit:
(a) | v − (x, y) = λ (a, b) |
(b) | a x + b y = − d |
Dann ist prG(v) = (x, y) die gesuchte Projektion und weiter ist |λ | = d(v, G). Das Vorzeichen von λ gibt an, ob v in der von (a, b) bzw. − (a, b) angezeigten Halbebene bzgl. G liegt. In diesem Sinn ist λ der signierte Abstand von v zu G.
Wir können (a) und (b) als Gleichungssystem in den Unbestimmten x, y, λ auffassen:
| (I) | x | + λ a | = v1 |
| (II) | y | + λ b | = v2 |
| (III) | a x + b y | = − c |
Durch Subtraktion des a bzw. b-fachen der Gleichungen (I), (II) wird die dritte Gleichung zu
(III)′ − λ a2 − λ b2 = − a v1 − b v2 − c
Dies ist wegen a2 + b2 = 1 äquivalent zu
(III)″ λ = 〈 (a, b), v 〉 + c
Damit erhalten wir die eindeutige Lösung (x, y, λ) des Systems:
| (+) | λ = 〈 (a, b), v 〉 + c = a v1 + b v2 + c |
| prG(v) = (x, y) = v − λ (a, b)(Hesse-Formeln) |
Speziell ist c der signierte Abstand des Nullpunkts zu G und prG(0) = − c (a, b) die Projektion des Nullpunkts auf G .
Beispiel
Für die obige Gerade G mit der Hesse-Normalform
−(3/5) x + (4/5) y − 2 = 0
und den Punkt v = (15, 10) erhalten wir
λ = 〈 (−3/5, 4/5), (15, 10) 〉 − 2 = − 3
prG(v) = (15, 10) + 3 (− 3/5, 4/5) = (66/5, 62/5) = 1/5 (66, 62) ∈ G
Der Punkt v hat den Abstand 3 zu G.
Übereinstimmung der Abstandsformeln
Für eine Gerade G = w + span(u) in Punkt-Richtungsform hatten wir oben bereits eine Abstandsformel gefunden. Diese lässt sich in die aus der Hesse-Normalform gewonnenen Formel umrechnen. Wir nehmen an, dass u normiert ist. Mit (a, b) = (− u2, u1) und c = − 〈 (a, b), w 〉 gilt
G = w + span(u) = { (x, y) ∈ ℝ2 | a x + b y + c = 0 }.
Mit q = v − w erhalten wir:
| d(v, G)2 | = ∥ v − w ∥2 − 〈 u, v − w 〉2 = q12 + q22 − (u1 q1 + u2 q2)2 |
| = (1 − u12) q12 + (1 − u22) q22 − 2 u1 u2 q1 q2 | |
| = u22 q12 + u12 q22 − 2 u1 u2 q1 q2 | |
| = (u1 q2 − u2 q1)2 = 〈 (− u2, u1), (q1, q2) 〉2 | |
| = 〈 (a, b), v − w 〉2 = (〈 (a, b), v 〉 − 〈 (a, b), w 〉)2 | |
| = (〈 (a, b), v 〉 + c)2 = λ2 |