Das Kreuzprodukt

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum ℝ³ sowie zwei Vektoren v und w dieses Raumes, die wir in der Koordinaten-Form

v = (x₁, y₁, z₁), w = (x₂, y₂, z₂)

notieren. Sind die Vektoren nicht kollinear, so spannen sie eine Ebene durch den Nullpunkt auf, und es ist anschaulich klar, dass es genau eine Gerade durch den Nullpunkt gibt, die auf dieser Ebene senkrecht steht. Um diese Gerade zu finden, suchen wir einen Vektor u ≠ 0, der sowohl auf v als auch auf w senkrecht steht. Es soll also 〈 v, u 〉 = 〈 w, u 〉 = 0 gelten. Diese Bedingung lässt sich als lineares Gleichungssystem formulieren:

(I)	x₁ u₁ + y₁ u₂ + z₁ u₃ = 0
(II)	x₂ u₁ + y₂ u₂ + z₂ u₃ = 0

Dieses System besteht aus zwei Gleichungen und drei reellen Unbestimmten u₁, u₂, u₃. Die sechs Koeffizienten x_1,2, y_1,2, z_1,2 des Systems sind die Koordinaten der gegebenen Vektoren v und w. Mit einer Lösung u ist auch jedes skalare Vielfache λu von u eine Lösung des Systems. Wir verzichten auf eine Berechnung der Lösung und geben das Ergebnis an. Hierzu definieren wir:

Definition (Kreuzprodukt)

Für alle v, w  ∈  ℝ³ setzen wir (mit Spaltennotation für die Vektoren)

v × w = $( \begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix} )$ × $( \begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1} \\ x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{matrix} )$ .

Der Vektor v × w  ∈  ℝ³ heißt das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt von v und w.

Wichtig

Das Kreuzprodukt ist eine Besonderheit der Dimension n = 3. Es erzeugt zu je zwei Vektoren des ℝ³ einen Vektor des ℝ³. In jede Koordinate von v × w gehen die vier anderen Koordinaten von v und w „kreuzweise“ ein.

Das Kreuzprodukt u = v × w ist, wie wir gleich sehen werden, eine Lösung des Systems (I), (II). Die Lösungsmenge des Systems ist damit span(v × w).

Beispiele

(1)	e₁ × e₂ = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1) = e₃

(2)	e₂ × e₁ = (0, 1, 0) × (1, 0, 0) = (0, 0, −1) = − e₃

(3)	(1, 1, 2) × (2, 1, 0) = (0 − 2, 4 − 0, 1 − 2) = (−2, 4, −1)