Norm und Richtung des Kreuzprodukts
Wir wissen, dass v × w senkrecht auf v und w steht. Nun untersuchen wir die die Länge und Richtung des Kreuzprodukts genauer.
Satz (Norm des Kreuzprodukts)
Für alle v, w ∈ ℝ3 ist ∥ v × w ∥ der Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms
P = { λ v + μ w | λ, μ ∈ [ 0, 1 ] }.
Für v, w ≠ 0 gilt also
∥ v × w ∥ = ∥v∥ ∥w∥ sin(φ) mit φ = ∡(v, w) ∈ [ 0, π ].
Beweis
Gilt v = 0 oder w = 0, so ist v × w der Nullvektor mit Länge 0, und die Fläche von P ist ebenfalls gleich 0. Seien also v, w ≠ 0 und φ = ∡(v, w), sodass sin(φ) ≥ 0. Nach der Lagrange-Identität und der Winkelformel gilt
| ∥ v × w ∥2 | = ∥v∥2 ∥w∥2 − 〈 v, w 〉2 |
| = ∥v∥2 ∥w∥2 − cos2φ ∥v∥2 ∥w∥2 | |
| = ∥v∥2 ∥w∥2 (1 − cos2φ) = ∥v∥2 ∥w∥2 sin2 φ. |
Die Fläche von P berechnet sich elementargeometrisch nach der Formel „Grundseite mal Höhe“ zu ∥v∥ ∥w∥ sin(φ). Dies zeigt die Behauptung.
Die Richtung des Kreuzprodukts können wir mit einigen Verrenkungen ermitteln durch:
Rechte-Hand-Regel
Zeigt v in Richtung des Daumens und w in Richtung des Zeigefingers der rechten Hand, so zeigt v × w in Richtung des Mittelfingers der rechten Hand, wenn dieser senkrecht auf Daumen und Zeigefinger steht. Die Vektoren v, w und v × w bilden damit ein Rechtssystem. Analog bilden die Vektoren v, w und w × v ein Linkssystem (mit w × v = − v × w).
Diese Regel lässt sich daumenfrei mit Hilfe von Rotationen mathematisch exakt formulieren und beweisen. Uns genügt die anschauliche Formulierung.
Beispiele
Der Leser überprüfe die Richtungen mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel:
e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2, e2 × e1 = −e3, e3 × e2 = −e1, e1 × e3 = −e2.
Das Kreuzprodukt u = v × w mit v = (3, 1, 2) und w = (1, 1, 1). Es gilt u = (−1, −1, 2).
Der Vektor u steht senkrecht auf v und w und (v, w, u) bilden ein Rechtssystem. Die Länge von u ist der Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms P.
Wie oben mit u = w × v. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ.