Spann und Linearkombinationen

Wir verallgemeinern zunächst den Begriff des Spanns, den wir bislang für einen und zwei Vektoren betrachtet hatten, auf endlich viele Vektoren.

Definition (Spann, Linearkombination)

Seien v₁, …, v_k  ∈  ℝⁿ. Dann heißt die Menge

span(v₁, …, v_k) = { λ₁ v₁ + … + λ_k v_k | λ₁, …, λ_k  ∈  ℝ } ⊆ ℝⁿ

der Spann oder das Erzeugnis von v₁, …, v_k. Jeden Vektor

λ₁ v₁ + … + λ_k v_k

des Spanns nennen wir auch eine Linearkombination von v₁, …, v_k.

Beispiele

(1)	Im ℝ⁴ ist (2, −2, −3, −1) = 2 (1, 2, 0, 1) + 0 (1, −1, 2, 0) − 3 (0, 2, 1, 1). Der Vektor (2, −2, −3, −1) ist also eine Linearkombination der Vektoren (1, 2, 0, 1), (1, −1, 2, 0), (0, 2, 1, 1).

(2)	Im ℝ⁶ gilt span(e₁, e₃, e₆) = { (λ₁, 0, λ₂, 0, 0, λ₃) \| λ₁, λ₂, λ₃  ∈  ℝ }.

Konvention

Wir lassen den Sonderfall k = 0 zu und setzen span(∅) = { 0 }. Der Nullvektor gilt als leere Linearkombination von Vektoren.

Ist { w₁, …, w_r } ⊆ { v₁, …, v_k }, so gilt span(w₁, …, w_r) ⊆ span(v₁, …, v_k). Die Inklusion ist hier im Allgemeinen nicht echt, da zum Beispiel span(v, v) = span(v) und span(v, w, v + w) = span(v, w). Leicht nachzuweisen ist:

Satz (Eigenschaften des Spanns)

Seien v₁, …, v_k  ∈  ℝⁿ, und sei U = span(v₁, …, v_k). Dann gilt für alle u, w  ∈  U und λ  ∈  ℝ:

(a)

0  ∈  U

(b)

λu  ∈  U

(c)	u + w  ∈  U

Der Spann enthält also den Nullvektor und er ist abgeschlossen unter der Skalierung und Addition von Vektoren. Eine Menge von Vektoren mit diesen drei Eigenschaften heißt ein Unterraum des ℝⁿ. Ein Spann im ℝⁿ ist nach dem Satz ein Unterraum des ℝⁿ. Die Umkehrung gilt ebenfalls: Jeder Unterraum U lässt sich als Spann in der Form U = span(u₁, …, u_k) schreiben. Der kleinste Unterraum U = { 0 } entspricht dem Sonderfall span(∅) = { 0 }.