Lineare Unabhängigkeit

Definition (linear unabhängig)

Seien v1, …, vk  ∈  ℝn. Dann heißt (v1, …, vk) linear unabhängig, falls für alle λ1, …, λk  ∈  ℝ gilt:

λ1 v1 + … + λk vk  =  0  impliziert  λ1 = … = λk = 0.

Andernfalls heißt (v1, …, vk) linear abhängig.

Die immer mögliche Linearkombination

0  =  0 v1  +  …  +  0 vk

nennen wir auch die triviale Darstellung des Nullvektors. Die Bedingung der Definition der linearen Unabhängigkeit besagt, dass sich der Nullvektor nur trivial mit Hilfe der Vektoren v1, …, vk darstellen lässt.

 Statt „(v1, …, vk) ist linear unabhängig“ sagen wir auch „v1, …, vk sind linear unabhängig“, um die Sprechweise zu vereinfachen. Die lineare Unabhängigkeit kommt aber nicht jedem betrachteten Vektor zu (wie bei „n1, …, nk sind gerade Zahlen“), sondern sie ist eine Eigenschaft der Vektoren als Ganzes.

Beispiele

(1)

In der Ebene ℝ2 gilt

2 (1, 4)  +  (−1) (2, 8)  =  2 (1, 4)  −  (2, 8)  =  0.

Der Nullvektor lässt sich also mit Hilfe von (1, 4) und (2, 8) nichttrivial darstellen. Die beiden Vektoren sind linear abhängig.

(2)

Die Vektoren (1, 1), (0, 1) der Ebene ℝ2 sind linear unabhängig. Denn sind λ, μ  ∈  ℝ mit

0  =  λ (1, 1)  +  μ (0, 1)  =  (λ, λ + μ),

so gilt λ = 0 und λ + μ = 0, so dass λ = μ = 0.

(3)

Im ℝ3 gilt

(0, 3, −9)  +  3 (1, 0, 2)  −  3 (1, 1, −1)  =  0

Die Vektoren (0, 3, −9), (1, 0, 2), (1, 1, −1) sind also linear abhängig.

(4)

Sind v1, …, vk  ∈  ℝn und gilt v1 = 0, so sind v1, …, vk linear abhängig. Denn wegen v1 = 0 ist

1 v1  +  0 v2  +  …  +  0 vk  =  0

eine nichttriviale Nulldarstellung. Allgemein sind Vektoren v1, …, vk linear abhängig, wenn mindestens einer der beteiligten Vektoren der Nullvektor ist. Der Nullvektor selbst ist linear abhängig.

hm1-AbbIDvector_linear_dep_1

Das Diagramm zeigt die Vektoren

v  =  (3, 1),  w  =  (−1, 2),  u  =  (−1, −1)

der Ebene und zwei nichttriviale Nulldarstellungen

1 v  +  2/3 w  +  7/3 u  (gestrichelt)

2 v  +  4/3 w  +  14/3 u  (gepunktet)

Berechnung von Nulldarstellungen

Um nichttriviale Nulldarstellungen wie im Diagramm zu finden, lösen wir

λ1 v  +  λ2 w  +  λ3 u  =  0

in den reellen Unbestimmten λ1, λ2, λ3. Einsetzen der Vektoren v = (3, 1), w = (−1, 2), u = (−1, −1) liefert das Gleichungssystem

(I) 3 λ1  −  1 λ2  −  1 λ3  =  0
(II) 1 λ1  +  2 λ2  −  1 λ3  =  0

Für ein beliebiges λ1  ∈  ℝ berechnet sich die Lösung des Systems zu

λ2  =  2/3 λ1,   λ3  =  7/3 λ1

Damit ist

{ (λ1, 2/3 λ1, 7/3 λ1) | λ1  ∈  ℝ }

die Lösungsmenge des Systems (I), (II).