Lineare Unabhängigkeit in der Ebene und im Raum
Für die Ebene gilt die folgende anschauliche und nicht schwer zu beweisende Charakterisierung:
Satz (lineare Unabhängigkeit in der Ebene)
Für alle v1, v2, v3 ∈ ℝ2 gilt:
(1) | v1 ist genau dann linear unabhängig, wenn v1 ≠ 0. |
(2) | v1, v2 sind genau dann linear unabhängig, wenn v1, v2 nicht auf einer gemeinsamen Geraden durch den Nullpunkt liegen (d. h. v1, v2 sind nicht kollinear). |
(3) | v1, v2, v3 sind linear abhängig. |
Das analoge Ergebnis für den dreidimensionalen Raum lautet:
Satz (lineare Unabhängigkeit im dreidimensionalen Raum)
Für alle v1, v2, v3, v4 ∈ ℝ3 gilt:
(1) | v1 ist genau dann linear unabhängig, wenn v1 ≠ 0. |
(2) | v1, v2 sind genau dann linear unabhängig, wenn v1, v2 nicht auf einer gemeinsamen Geraden durch den Nullpunkt liegen (d. h. v1, v2 sind nicht kollinear). |
(3) | v1, v2, v3 sind genau dann linear unabhängig, wenn v1, v2, v3 nicht in einer gemeinsamen Ebene durch den Nullpunkt liegen. |
(4) | v1, v2, v3, v4 sind linear abhängig. |
Anschaulich formuliert sind also k Vektoren in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum genau dann linear unabhängig, wenn ihr Spann ein geometrisches Gebilde der Dimension k ist. Drei Vektoren des ℝ2 und vier Vektoren des ℝ3 sind immer linear abhängig. Allgemeiner gilt, dass n + 1 Vektoren des ℝn stets linear abhängig sind.
Beispiel
Sei E = w + span(u1, u2) eine affine Ebene im ℝ3. Nach Definition sind u1, u2 linear unabhängig. Die drei beteiligten Vektoren w, u1, u2 sind genau dann linear unabhängig, wenn der Nullpunkt nicht in der Ebene liegt. Es gilt zum Beispiel
| (1, 1, 1) + span((1, 1, 0), (0, 0, 1)) | = 0 + span((1, 1, 0), (0, 0, 1)) |
| = span((1, 1, 0), (0, 0, 1)). |
Die Vektoren (1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) sind linear abhängig.