Basen
Der Spann von Vektoren ist im Allgemeinen eine echte Teilmenge des Raumes. Er kann aber auch der ganze Raum sein:
Definition (erzeugend)
Seien v1, …, vk ∈ ℝn. Dann heißt (v1, …, vk) erzeugend oder ein Erzeugendensystem, falls span(v1, …, vk) = ℝn.
Wie bei der linearen Unabhängigkeit sagen wir auch: „v1, …, vk sind erzeugend“.
Einer der wichtigsten Begriffe der Vektorraumtheorie ist:
Definition (Basis)
Seien v1, …, vk ∈ ℝn. Dann heißt (v1, … vk) eine Basis des ℝn, falls gilt:
(a) | v1, …, vk sind linear unabhängig. |
(b) | v1, …, vk sind erzeugend. |
Beispiel
(1) | (e1, …, en) ist eine Basis des ℝn. Diese Basis heißt die kanonische Basis oder Standardbasis des ℝn. |
(2) | Die Vektoren (1, 0), (1, 1) bilden eine Basis des ℝ2. |
(3) | Ist α ≠ 0, so bilden die Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, α) eine Basis des ℝ3. |
Die kanonische Basis hat besonders gute Eigenschaften: Die Vektoren sind normiert und sie stehen paarweise senkrecht aufeinander. Eine solche Basis nennen wir auch eine Orthonormalbasis. Im Allgemeinen kann ein Basisvektor aber eine beliebige positive Länge haben und zwei Basisvektoren können jeden von 0 und π verschiedenen Winkel miteinander einschließen.
Wie erwartet kann man zeigen:
Satz (Länge einer Basis)
Jede Basis des ℝn besteht aus genau n Vektoren. Weiter gilt:
(1) | Je n linear unabhängige Vektoren v1, …, vn des ℝn bilden eine Basis. |
(2) | Je n erzeugende Vektoren v1, …, vn des ℝn bilden eine Basis. |
Wollen wir also zeigen, dass n gegebene Vektoren des ℝn eine Basis bilden, so genügt der Nachweis der linearen Unabhängigkeit oder alternativ der Nachweis, dass die Vektoren den ℝn erzeugen. Die zweite Eigenschaft ist automatisch richtig. Hierzu ist es wesentlich, dass die Anzahl der Vektoren mit der Dimension des Raumes übereinstimmt.