Komplexe Vektorräume
Die neuen Begriffe können unverändert für die komplexen Vektorräume ℂn übernommen werden. Sowohl die Einträge der Vektoren als auch die Skalare sind nun komplexe Zahlen. Je n linear unabhängige (alternativ: erzeugende) Vektoren v1, …, vn des ℂn bilden eine Basis des ℂn. Jeder Vektor u des ℂn hat einen eindeutigen Koordinatenvektor bzgl. einer Basis (v1, …, vn) des ℂn. Der Koordinatenvektor ist wieder ein Vektor des ℂn.
Fassen wir wie üblich einen Vektorraum ℝn als einen Teilraum des ℂn auf, so sind linear unabhängige Vektoren des ℝn auch linear unabhängig in ℂn. Um dies einzusehen, nehmen wir an, dass
0 = λ1 v1 + … + λk vk mit λ1, …, λk ∈ ℂ, v1, …, vk ∈ ℝn.
Dann gilt
0 = Re(λ1) v1 + … + Re(λk) vk
0 = Im(λ1) v1 + … + Im(λk) vk
mit reellen Skalaren. Sind v1, …, vk linear unabhängig im ℝn, so gilt
Re(λi) = Im(λi) = 0 für alle i = 1, …, n,
sodass alle λi gleich 0 sind. Dies zeigt, dass die Vektoren v1, …, vk auch linear unabhängig in ℂn sind. Insbesondere ist jede Basis des ℝn auch eine Basis des ℂn. Daneben besitzt der ℂn viele weitere Basen aus Vektoren mit komplexen Einträgen.
Beispiele
(1) | Die Standardbasis ((1, 0), (1, 1)) der Ebene ℝ2 ist auch eine Basis des komplexen Vektorraumes ℂ2. Ist (z, w) ∈ ℂ2, so gilt (z, w) = z (1, 0) + w (0, 1) = z e1 + w e2. Der Koordinatenvektor von (z, w) bzgl. (e1, e2) ist also wieder der Vektor (z, w). |
(2) | Die Vektoren (1, 0), (0, i) bilden ebenfalls eine Basis des komplexen Vektorraumes ℂ2. Ist (z, w) ∈ ℂ2, so gilt (z, w) = z (1, 0) − iw (0, i). Damit ist (z, −iw) der Koordinatenvektor von (z, w) bzgl. der Basis ((1, 0), (0, i)). |