Skalarmultiplikation und Vektorraumstruktur

Eine Skalarmultiplikation ist für Matrizen ebenfalls möglich:

Definition (Skalarmultiplikation einer Matrix)

Seien A  ∈  ℝ^m × n und λ  ∈  ℝ. Dann setzen wir

λA = (λ a_i j)_i j  ∈  ℝ^m × n.

Die Matrix λA heißt das Ergebnis der Skalarmultiplikation von A mit dem Skalar λ.

Wie bei den Vektoren stehen die Skalare immer links (also λA und nicht Aλ).

Beispiele

3 $( \begin{matrix} 1 & 2 & - 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & - 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 3 & 6 & - 9 & 0 \\ 9 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix} )$

(−1) $( \begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 3 & 0 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix} )$ = − $( \begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 3 & 0 \end{matrix} )$

Es gelten alle von den Vektorräumen ℝⁿ vertrauten Rechengesetze. Für alle λ, μ  ∈  ℝ und alle A, B  ∈  ℝ^m × n gilt zum Beispiel

λ (A + B) = λA + λB, λ (μ A) = (λμ) A

Kurz:

Mit Matrizen können wir rechnen wie mit Vektoren.

Definition (reelle Matrizenräume)

Seien m, n ≥ 1. Dann heißt die Menge ℝ^m × n mit der Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen der reelle Vektorraum der m × n-Matrizen.

Bemerkung

Die Matrizenräume sind prinzipiell nichts Neues: Schreiben wir eine Matrix A  ∈  ℝ^m × n „flach“ als Vektor

(a₁₁, …, a_1n, a₂₁, …, a_2n, …, a_m1, …, a_mn)  ∈  ℝ^{m · n},

so fallen die Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen mit den Operationen für Vektoren zusammen. Die zweidimensionale Struktur der Matrizen haben wir bislang nicht wirklich benutzt. Das ändert sich grundlegend für das Matrix-Vektor-Produkt und die Multiplikation von Matrizen. Sie verwenden entscheidend die rechteckige Form.