Das Matrix-Vektor-Produkt

Wir notieren reelle Vektoren des ℝ^m im Folgenden oft als Spaltenvektoren:

v = (v₁, …, v_m) = $( \begin{matrix} v_{1} \\ … \\ v_{m} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^m.

Erneut bedeutet ein Komma also den Beginn einer neuen Zeile. Die Vektoren des ℝ^m entsprechen so den Matrizen des ℝ^m × 1 mit m Zeilen und einer Spalte. Bei dieser Identifikation gilt ℝ^m = ℝ^m × 1 (und ℝ^m ≠ ℝ^1 × m für m > 1).

Definition (Matrix-Vektor-Produkt)

Seien A  ∈  ℝ^m × n und v  ∈  ℝⁿ. Dann setzen wir

A v = $( \begin{matrix} a_{11} & … & a_{1 n} \\ a_{21} & … & a_{2 n} \\ … \\ a_{m 1} & … & a_{m n} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ … \\ v_{n} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a_{11} v_{1} + … + a_{1 n} v_{n} \\ a_{21} v_{1} + … + a_{2 n} v_{n} \\ … \\ a_{m 1} v_{1} + … + a_{m n} v_{n} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^m.

Der Vektor A v  ∈  ℝ^m heißt das Matrix-Vektor-Produkt von A mit v.

Die Bildung des Matrix-Vektor-Produkts lässt sich durch

Zeile mal Spalte

veranschaulichen: Das Ergebnis A v ist ein als Spaltenvektor notierter Vektor des ℝ^m. Die Einträge dieses Vektors sind die Euklidischen Skalarprodukte der Zeilenvektoren von A mit dem Vektor v.

Wichtig

Eine m × n-Matrix kann nur mit einem Vektor des ℝⁿ multipliziert werden. Wir starten im ℝⁿ, wenden A an und landen im ℝ^m. Eine Matrix A  ∈  ℝ^m × n lässt sich damit als eine Abbildung von ℝⁿ nach ℝ^m auffassen: Einem Vektor v  ∈  ℝⁿ wird der Vektor Av  ∈  ℝ^m zugeordnet. Wir diskutieren diese sehr wichtige Sichtweise im nächsten Kapitel genauer.

Beispiel

$( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 1 + 4 - 3 \\ 3 + 0 - 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} )$  ∈  ℝ².