Das Produkt zweier Matrizen

Durch wiederholte Bildung des Matrix-Vektor-Produkts können wir eine Multiplikation für Matrizen einführen:

Definition (Produkt zweier Matrizen)

Seien A  ∈  ℝ^{m × r}, B  ∈  ℝ^r × n mit B = (b₁; …; b_n). Dann setzen wir

A · B = (Ab₁; Ab₂; … ; Ab_n).

Die Matrix A · B  ∈  ℝ^m × n heißt das Produkt der Matrizen A und B.

Wir wenden die Matrix A nacheinander auf die Spaltenvektoren b₁, …, b_n von B an. Die Matrix-Vektor-Produkte Ab₁, …, Ab_n des ℝ^m schreiben wir als Spalten in eine Matrix. Wir erhalten so das Produkt A · B  ∈  ℝ^m × n.

Wir schreiben auch kurz A B statt A · B. Ist C = A · B mit A, B wie im Satz, so gilt für alle Einträge c_ij von C, dass

c_ij = a_i1 b_1j + … + a_ir b_rj = ∑_{1 ≤ k ≤ r} a_ik b_k j(Formel für die Produkt-Einträge)

Insgesamt sind m · n Einträge durch „Zeile mal Spalte“ zu berechnen.

Beispiele

(1)

Ein Produkt AB mit A  ∈  ℝ^2 × 3, B  ∈  ℝ^{3 × 4}:

$( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 8 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 1 & 4 & 1 & 1 \\ 3 & - 4 & 7 & 24 \end{matrix} )$

Der Eintrag c₂₃ = 7 des Produkts C = AB ergibt sich beispielsweise so:

c₂₃ = „zweite Zeile mal dritte Spalte“ = 0 · 3 + (−1)(−1) + 3 · 2 = 7.

(2)	Die allgemeine Form des Produkts zweier 2 × 2-Matrizen lautet: $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ · $( \begin{matrix} a′ & b′ \\ c′ & d′ \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a a′ + b c′ & a b′ + b d′ \\ c a′ + d c′ & c b′ + d d′ \end{matrix} )$

Dimensionen müssen passen

Ein Matrizenprodukt AB ist genau dann definiert, wenn die Dimension der Zeilenvektoren von A gleich der Dimension der Spaltenvektoren von B ist. Äquivalent formuliert: Die Anzahl der Spalten von A stimmt mit der Anzahl der Zeilen von B überein. Für A  ∈  ℝ^m × r, B  ∈  ℝ^{r × n} gilt AB  ∈  ℝ^m × n, die „mittlere“ oder „verbindende“ Dimension r geht nicht in das Ergebnis ein.