Die Transposition

Definition (transponierte Matrix)

Sei A = (a₁; a₂; …; a_n)  ∈  ℝ^{m × n}. Dann setzen wir

A^t = (a₁, …, a_n)  ∈  ℝ^{n × m}

Die Matrix A^t heißt die zu A transponierte Matrix.

Die Transposition einer Matrix lässt sich anschaulich durch die Spiegelung an der Hauptdiagonalen beschreiben. Die Zeilen- und Spaltenzahl wird dadurch vertauscht. Ist A quadratisch, so gilt dies auch für A^t. Eine Matrix A  ∈  ℝ^{n × n} ist genau dann symmetrisch, wenn A = A^t. Für alle A  ∈  ℝ^{m × n} gilt (A^t)^t = A.

Beispiel

Für A = ((1, 2); (1, 3); (4, 5))  ∈  ℝ^2 × 3 gilt A^t = ((1, 2), (1, 3), (4, 5))  ∈  ℝ^3 × 2:

A = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} )$ , A^t = $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} )$