Komplexe Matrizen

Die Matrizentheorie lässt sich leicht ins Komplexe verallgemeinern: Die Einträge a_ij einer Matrix A = (a_ij)_ij sind nun komplexe Zahlen. Wir setzen

ℂ^m × n = { A | A ist eine komplexe m × n-Matrix }.

Die Addition, Skalarmultiplikation, das Matrix-Vektor-Produkt und das Produkt zweier Matrizen werden wie für reelle Matrizen definiert. Wir übernehmen alle Sprechweisen und Notationen.

Definition (komplexe Matrizenräume)

Seien m, n ≥ 1. Dann heißt die Menge ℂ^m × n mit der Addition und Skalarmultiplikation von komplexen Matrizen der komplexe Vektorraum der m × n-Matrizen.

Für alle n, m ≥ 1 gilt ℝ^m × n ⊆ ℂ^m × n. Wie für ℝ erhalten wir zudem ℂ^m = ℂ^m × 1 (Identifikation von Vektoren und einspaltigen Matrizen)

Beispiele

$( \begin{matrix} 1 & 2 + i & i \\ 2 i & 0 & 1 - i \end{matrix} )$ + $( \begin{matrix} 1 & i & - i \\ 1 & 0 & i \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 2 & 2 + i 2 & 0 \\ 1 + i 2 & 0 & 1 \end{matrix} )$

i $( \begin{matrix} 1 & 2 + i & i \\ 2 i & 0 & 1 - i \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} i & - 1 + i 2 & - 1 \\ - 2 & 0 & 1 + i \end{matrix} )$

$( \begin{matrix} 1 & i \\ i & 1 + i \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 \\ 1 + i \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} i \\ 3 i \end{matrix} )$

$( \begin{matrix} 1 & i \\ i & 1 + i \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 3 i \\ 1 + i & 2 - i \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} i & 1 + i 5 \\ 3 i & i \end{matrix} )$