Lineare Abbildungen
Definition (lineare Abbildung)
Eine Abbildung f : ℝn → ℝm heißt linear, falls für alle v, w ∈ ℝn und alle λ, μ ∈ ℝ gilt:
f(λ v + μ w) = λ f (v) + μ f (w)(Linearitätsbedingung)
Charakteristisch ist das „Reinziehen“ von f. Gilt
f(v + w) = f (v) + f (w)
für alle v, w ∈ ℝn, so sagen wir auch, dass f die Vektoraddition erhält oder respektiert. Wir können im ℝn zuerst v + w bilden und dann f anwenden. Oder wir können zuerst f (v) und f (w) bilden und dann diese Vektoren im ℝm addieren. Erhält f die Vektoraddition, so erzeugen beide Wege das gleiche Ergebnis. Analoges gilt für die Skalarmultiplikation: Gilt
f (λv) = λf (v)
für alle λ ∈ ℝ und v ∈ ℝn, so können wir zuerst skalieren und dann f anwenden oder umgekehrt erst f anwenden und dann skalieren. Die Linearitätsbedingung besagt, dass sowohl die Vektoraddition als auch die Skalarmultiplikation unter f erhalten bleiben.
Jede Matrix liefert ein Beispiel für eine lineare Abbildung:
Satz (Matrizen als lineare Abbildungen)
Sei A ∈ ℝm × n. Dann ist die Abbildung, die einen Vektor v ∈ ℝn auf den Vektor Av ∈ ℝm abbildet, eine lineare Abbildung des ℝn in den ℝm.
Beweis
Seien v, w ∈ ℝn und λ, μ ∈ ℝ. Wir zeigen:
A(λv + μw) = λ Av + μ Aw.
Hierzu genügt es zu zeigen, dass jede Komponente des linken Vektors mit der entsprechenden Komponente des rechten Vektors übereinstimmt. Sei also i ∈ { 1, …, m }. Dann gilt nach Definition des Matrix-Vektor-Produkts und der Vektoroperationen:
| (A(λv + μw))i | = ∑1 ≤ k ≤ n aik (λvk + μwk) |
| = λ ∑1 ≤ k ≤ n aikvk + μ ∑1 ≤ k ≤ n aik wk = λ(Av)i + μ(Aw)i |
Matrizen als lineare Abbildungen
Aufgrund des Satzes fassen wir eine Matrix A ∈ ℝm × n als lineare Abbildung auf und schreiben A : ℝn → ℝm. Genauer sollten wir von der durch A erzeugten linearen Abbildung fA : ℝn → ℝm mit fA(v) = Av sprechen.
Visualisierung in der Ebene, I
Eine Abbildung f : ℝ2 → ℝ2 der Ebene in sich selbst können wir visualisieren, indem wir für einige Punktpaare (v, f (v)) einen Pfeil von v nach f (v) in der Ebene zeichnen. Der Pfeil deutet an, dass der Punkt v durch die Abbildung f auf den Punkt f (v) abgebildet wird. Das folgende Diagramm zeigt eine derartige Visualisierung für die Abbildung f : ℝ2 → ℝ2 mit
f((x, y)) = (2x − y, x + 3y) für alle (x, y) ∈ ℝ2.
Pfeildiagramm für f : ℝ2 → ℝ2 mit f((x, y)) = (2x − y, x + 3y)
Der Übersichtlichkeit halber haben wir hier nur Stellen v = (a, b) mit
a, b ∈ { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 }
betrachtet.
Die Abbildung f ist linear. Sie wird durch Matrix A ∈ ℝ2 × 2 mit
A =
definiert. Es gilt
f (v) = (2x − y, x + 3y) = A(x, y) = Av für alle v = (x, y) ∈ ℝ2.