Darstellende Matrizen

Jede Matrix A  ∈  ℝ^{m × n} liefert ein Beispiel für eine lineare Abbildung des ℝⁿ in den ℝ^m. Wir zeigen, dass es keine weiteren Beispiele gibt. Hierzu definieren wir:

Definition (darstellende Matrix)

Sei f : ℝⁿ → ℝ^m linear. Dann heißt die Matrix

A = (f (e₁); …; f (e_n))  ∈  ℝ^{m × n}

die darstellende Matrix von f.

Bildung der darstellenden Matrix

Um die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f zu bestimmen, berechnen wir alle Bilder der kanonischen Basisvektoren unter f. Nun schreiben wir diese Vektoren f (e₁), …, f (e_n) als Spalten in eine Matrix. Kurz:

Die Spaltenvektoren sind die Bilder der Basisvektoren.

Für eine beliebige Matrix B  ∈  ℝ^m × n gilt nach „Zeile mal Spalte“:

B e_i = „die i-te Spalte von B“ für alle i = 1, …, n.

Ist A die darstellende Matrix von f, so gilt

A e_i = „die i-te Spalte von A“ = f (e_i) für alle i = 1, …, n.

Diese Beobachtung verwenden wir im Beweis des folgenden Satzes, der die Bezeichnung als „darstellende Matrix“ erklärt:

Satz (Darstellungssatz)

Sei f : ℝⁿ → ℝ^m linear, und sei A die darstellende Matrix von f. Dann gilt

f (v) = A v für alle v  ∈  ℝⁿ.

Beweis

Sei v  ∈  ℝⁿ. Dann gilt

f (v)	= f (v₁e₁ + … + v_ne_n)
	= v₁f (e₁) + … + v_n f (e_n)
	= v₁A e₁ + … + v_n A e_n
	= A(v₁e₁ + … + v_ne_n) = Av

Fassen wir eine Matrix als lineare Abbildung auf, so ist eine lineare Abbildung f mit ihrer darstellenden Matrix A identisch. Damit haben wir gezeigt:

Die linearen Abbildungen sind genau die Matrizen.

Visualisierung in der Ebene, II

Die von einer Matrix A  ∈  ℝ^2 × 2 erzeugte lineare Abbildung können wir als Verformung des kartesischen Koordinatengitters veranschaulichen. Wir betrachten das von den Spaltenvektoren v und w von A definierte Koordinatengitter, wobei wir zunächst annehmen, dass v und w linear unabhängig sind und also eine Basis bilden. Gilt A = (v; w), so ist v = Ae₁ und w = Ae₂. Für einen beliebigen Vektor (x, y) der Ebene gilt dann

A (x, y) = x Ae₁ + y Ae₂ = x v + y w.

Der Vektor A(x, y) hat also die Koordinaten (x, y) im durch (v, w) definierten Koordinatensystem. Das folgende Diagramm zeigt die oben als Pfeildiagramm visualisierte Abbildung aus dieser Perspektive.

Verformung des kartesischen Koordinatengitters durch die Matrix

A = (v; w) = $( \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} )$ . Es gilt v = A e₁ und w = A e₂.

Sind die Spaltenvektoren v und w von A linear abhängig, so entsteht kein Koordinatensystem. Das Bild von A ist dann eine Gerade durch 0 oder, im Sonderfall A = 0, die Menge { 0 }. Das Koordinatensystem wird flachgedrückt oder auf den Nullpunkt zusammengezogen.