Beispiel 1: Rotations-Matrizen

Instruktive Beispiele für darstellende Matrizen sind die Rotations-Matrizen der Ebene (auch Dreh-Matrizen genannt). Wir betrachten hierzu einen Winkel φ  ∈  ℝ und die Abbildung rot_φ : ℝ² → ℝ², die einen Vektor der Ebene um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn dreht. Diese Abbildung ist linear. Um die darstellende Matrix zu berechnen, müssen wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren e₁ = (1, 0) und e₂ = (0, 1) bestimmen. Drehen wir den Vektor e₁ um den Winkel φ, so erhalten wir

rot_φ(e₁) = (cos φ, sin φ)

Drehen wir e₂ um φ, so erhalten wir

rot_φ(e₂) = (−sin φ, cos φ).

Der zweite Vektor steht senkrecht auf dem ersten. Wir können ihn auch direkt mit Hilfe der Regel „(x, y) wird bei der Drehung um π/2 zu (−y, x)“ aus dem ersten gewinnen. Die gedrehten Basisvektoren schreiben wir nun als Spalten in eine 2 × 2-Matrix:

Definition (Rotations-Matrix in der Ebene)

Sei φ  ∈  ℝ. Dann heißt die Matrix

A = $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$  ∈  ℝ^2 × 2

die Rotations-Matrix zum Winkel φ. Wir bezeichnen sie auch mit rot_φ.

Für jeden Vektor v  ∈  ℝ² ist der Vektor Av  ∈  ℝ² das Ergebnis der Drehung von v um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn.

Beispiel: Rotation um π/4

Wir berechnen die Drehung des Vektors (2, 1) um den Winkel π/4 gegen den Uhrzeigersinn. Nach dem Satz des Pythagoras gilt

cos(π/4) = sin(π/4) = 1/ $\sqrt{2}$

Damit berechnet sich der gedrehte Vektor zu

$( \begin{matrix} cos (π / 4) & - sin (π / 4) \\ sin (π / 4) & cos (π / 4) \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 1 / \sqrt{2} & - 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} )$

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $( \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} )$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} )$

Beispiel: Rotation um π/6

Die folgenden Diagramme visualisieren die Rotation um π/6. Die Rotationsmatrix A berechnet sich wegen cos(π/6) = $\sqrt{3}$ /2 und sin(π/6) = 1/2 zu A = (v; w) mit v = 1/2 ( $\sqrt{3}$ , 1) und w = 1/2 (−1, $\sqrt{3}$ ).

Pfeildiagramm der Rotation um π/6

Das Koordinatengitter der Rotation um π/6