Beispiel 2: Projektions-Matrizen

Sei u  ∈  ℝ² normiert. Dann ist die orthogonale Projektion pr_u : ℝ² → ℝ² mit

pr_u(v) = 〈 u, v 〉 u für alle v  ∈  ℝ² (mit û = u, da u normiert ist)

linear. Um die darstellende Matrix zu bestimmen, berechnen wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren. Es gilt:

pr_u(e₁) = 〈 u, e₁ 〉 u = u₁ u = u₁ (u₁, u₂) = (u₁², u₁u₂)

pr_u(e₂) = 〈 u, e₂ 〉 u = u₂ u = u₂ (u₁, u₂) = (u₁u₂, u₂²)

Diese Vektoren schreiben wir als Spalten in eine Matrix:

Definition (Projektions-Matrix in der Ebene)

Sei u  ∈  ℝ² normiert. Dann heißt die Matrix

A = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^2 × 2

die Projektions-Matrix zum Vektor u. Wir bezeichnen sie auch mit pr_u.

Für jeden Vektor v  ∈  ℝ² ist der Vektor Av  ∈  ℝ² das Ergebnis der orthogonalen Projektion von v auf die von u erzeugte Gerade. Die Voraussetzung „u ist normiert“ ist keine Einschränkung, da die Normierung eines Vektors u ≠ 0 die Projektion auf u unverändert lässt.

Eine Projektionsmatrix A ist symmetrisch, da a₁₂ = a₂₁. Für die Hauptdiagonale (u₁², u₂²) von A gilt u₁² + u₂² = 1, sodass spur(A) = 1. 1. Weiter gilt

A = u u^t = (u₁, u₂) (u₁; u₂) mit u  ∈  ℝ^2 × 1, u^t  ∈  ℝ^1 × 2,

wenn wir u als Matrix mit einer Spalte und zwei Zeilen auffassen.

Beispiel

Wir betrachten die Gerade G durch den Ursprung und (3, 4). Der Vektor (3, 4) hat die Länge 5, sodass u = (3/5, 4/5) der normierte Vektor der gleichen Richtung ist. Die Projektions-Matrix für u lautet

A = ¹₂₅ $( \begin{matrix} 9 & 12 \\ 12 & 16 \end{matrix} )$

Für den Vektor v = (3, −1) berechnet sich beispielsweise die Projektion von v auf die Gerade G zu

A v = ¹₂₅ $( \begin{matrix} 9 & 12 \\ 12 & 16 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} )$ = ¹₂₅ $( \begin{matrix} 15 \\ 20 \end{matrix} )$ = ¹₅ $( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} )$

Projektionen lassen sich gut durch Pfeildiagramme visualisieren:

Pfeildiagramm für die Projektion auf die Gerade durch den Nullpunkt und (1, 2)

Die Projektionsmatrix berechnet sich zu

A = ¹₅ $( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} )$

Das kartesische Koordinatengitter wird durch eine Projektion

A = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$

flachgedrückt: Die Vektoren A e₁ und A e₂ liegen beide auf der Geraden span(u) der Projektion und sind damit linear abhängig. Diese anschauliche geometrische Eigenschaft lässt sich auch leicht nachrechnen: Ist u₁ = 0 oder u₂ = 0, so hat A eine Nullspalte, sodass die Spaltenvektoren linear abhängig sind. Andernfalls ist

¹_u₁ (u₁², u₁ u₂) − ¹_u₂ (u₁ u₂, u₂²) = 0

eine nichttriviale Nulldarstellung.

Beispiel: Kleine Änderung einer Projektionsmatrix

Pfeildiagramm für die Matrix A′ = ¹₅ $( \begin{matrix} 0,9 · 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} )$

Gegenüber der obigen Projektionsmatrix wurde der Eintrag a₁₁ um 10% verringert, sodass sich eine „Beinaheprojektion“ ergibt. Das kartesische Koordinatengitter wird nicht mehr flachgedrückt, aber zu einem sehr spitzwinkligen Gitter verformt:

Das Koordinatengitter der „Beinaheprojektion“ A′ = (v; w)

Verwendung der Hesse-Normalform

Die Projektions-Matriz können wir auch mit der Hesse-Normalform einer Geraden durch den Nullpunkt gewinnen. Sei hierzu wieder u  ∈  ℝ² normiert, und sei G = span(u). Mit (a, b) = rot_π/2(u) = (− u₂, u₁) gilt

G = span(u) = { (x, y)  ∈  ℝ² | a x + b y = 0 }.

Die Hesse-Formeln liefern

pr_G(v)	= v − λ (a, b) = v − 〈 (a, b), v 〉 (a, b)
	= $( \begin{matrix} v_{1} - (a v_{1} + b v_{2}) a \\ v_{2} - (a v_{1} + b v_{2}) b \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} (1 - a^{2}) v_{1} - a b v_{2} \\ (1 - b^{2}) v_{2} - a b v_{1} \end{matrix} )$
	= $( \begin{matrix} b^{2} v_{1} - a b v_{2} \\ - a b v_{1} + a^{2} v_{2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} b^{2} & - a b \\ - a b & a^{2} \end{matrix} )$ v = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$ v.

Die Projektions-Matrix ergibt sich auch aus

pr_G(e₁) = e₁ − 〈 (a, b), e₁ 〉 (a, b) = e₁ − (a², a b) = (b², − a b) = (u₁², u₁ u₂)

pr_G(e₂) = e₂ − 〈 (a, b), e₂ 〉 (a, b) = e₂ − (a b, b²) = (− a b, a²) = (u₁ u₂, u₂²)

Dreidimensionale Projektion auf eine Ebene

Die Hesse-Formeln eignen sich auch zur Gewinnung von Projektions-Matrizen im ℝ³. Sei hierzu

E = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | a x + b y + c z = 0 }

eine Ebene des ℝ³ mit ∥ (a, b, c) ∥ = 1. Mit den Hesse-Formeln

pr_E(v) = v − λ (a, b, c) mit λ = 〈 (a, b, c), v 〉

berechnen wir:

pr_E(e₁) = e₁ − a (a, b, c) = (1 − a², − a b, − a c)

pr_E(e₂) = e₂ − b (a, b, c) = (− a b, 1 − b², − b c)

pr_E(e₃) = e₃ − c (a, b, c) = (− a c, − b c, 1 − c²)

Damit erhalten wir die (wieder mit pr_E bezeichnete) symmetrische dreidimensionale Projektionsmatix

pr_E = $( \begin{matrix} 1 - a^{2} & - a b & - a c \\ - a b & 1 - b^{2} & - b c \\ - a c & - b c & 1 - c^{2} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^3 × 3.

Dreidimensionale Projektion auf eine Gerade (und Ebene)

Die Projektionsformel

pr_u (v) = 〈 û, v 〉 û

gilt auch im ℝ³. Ist u  ∈  ℝ³ normiert, so berechnen sich die Bilder der Basisvektoren zu

pr_u(e₁) = 〈 u, e₁ 〉 u = u₁ u = (u₁², u₁ u₂, u₁ u₃)

pr_u(e₂) = 〈 u, e₂ 〉 u = u₂ u = (u₂ u₁, u₂², u₁ u₂, u₂ u₃)

pr_u(e₃) = 〈 u, e₃ 〉 u = u₃ u = (u₃ u₁, u₃ u₂, u₃²)

Damit ergibt sich die (wieder mit pr_u bezeichnete) symmetrische Projektions-Matrix

pr_u = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} & u_{1} u_{3} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} & u_{2} u_{3} \\ u_{1} u_{3} & u_{2} u_{3} & u_{3}^{2} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^3 × 3.

Seien nun u, w  ∈  ℝ³ normiert, und sei E = span(u, w) die von den beiden Vektoren aufgespannte Ebene. Die Projektion eines Vektors v auf E ist die Summe der Projektionen von v auf u und w:

(+) pr_E(v) = pr_u(v) + pr_w(v)

Denn die linke Seite ist ein Element von E und zudem gilt

〈 v − (pr_u(v) + pr_w(v)), u 〉 = 〈 v − pr_u(v), u 〉 − 〈 pr_w(v), u 〉 = 0 − 0 = 0,

〈 v − (pr_u(v) + pr_w(v)), w 〉 = 0 (analog).

(Dabei verwenden wir in 〈 pr_w(v), u 〉 = 0 = 〈 pr_u(v), w 〉 entscheidend die Orthogonalität von u und w.) Damit erhalten wir:

pr_E = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} + w_{1}^{2} & u_{1} u_{2} + w_{1} w_{2} & u_{1} u_{3} + w_{1} w_{3} \\ u_{1} u_{2} + w_{1} w_{2} & u_{2}^{2} + w_{2}^{2} & u_{2} u_{3} + w_{2} w_{3} \\ u_{1} u_{3} + w_{1} w_{3} & u_{2} u_{3} + w_{2} w_{3} & u_{3}^{2} + w_{3}^{2} \end{matrix} )$ .

Es gilt wieder pr_E = u u^t + v v^t, wenn wir u und v als einspaltige Matrizen auffassen.

Dass die zwei Darstellungen von pr_E übereinstimmen, folgt aus der Eindeutigkeit einer darstellenden Matrix. Dies lässt sich aber auch direkt nachweisen: Ist (a, b, c) = u × w, so ist die Matrix A = (u; w; (a, b, c)) orthogonal, d. h. die Zeilen und Spalten von A sind normiert und sie stehen paarweise senkrecht aufeinander. Damit gilt zum Beispiel 1 − a² = u₁² + w₁², − a b = u₁ u₂ + w₁ w₂ usw.