Die Multiplikation als Verknüpfung von Abbildungen

Wir haben gezeigt, dass lineare Abbildungen und Matrizen einander entsprechen. Dies wird noch verstärkt durch den folgenden Satz:

Satz (Matrizenmultiplikation und Verknüpfung)

Seien f : ℝⁿ → ℝ^r und g : ℝ^r → ℝ^m lineare Abbildungen, und seien A bzw. B ihre darstellenden Matrizen. Dann ist BA die darstellende Matrix von g ∘ f.

Beweis

Es gilt

(g ∘ f)(e₁) = g(f (e₁)) = g(Ae₁) = B(Ae₁) = (BA)e₁.

Damit ist die erste Spalte der Matrix BA das Bild von e₁ unter g ∘ f. Analoges gilt für e₂, …, e_n. Dies zeigt, das BA die Abbildung g ∘ f darstellt.

Das Ergebnis motiviert (nachträglich) die Matrizenmultiplikation.

Als Anwendung geben wir einen verblüffenden Beweis der Additionstheoreme für den Kosinus und Sinus:

Satz (Additionstheoreme für Kosinus und Sinus)

Für alle α, β  ∈  ℝ gilt:

cos(α + β)	= cos α cos β − sin α sin β(Additionstheorem des Kosinus)
sin(α + β)	= sin α cos β + cos α sin β(Additionstheorem des Sinus)

Beweis

Seien α, β  ∈  ℝ. Die Rotationsmatrizen für α, β und α + β lauten

A = $( \begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} )$ , B = $( \begin{matrix} cos β & - sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} )$ , C = $( \begin{matrix} cos (α + β) & - sin (α + β) \\ sin (α + β) & cos (α + β) \end{matrix} )$

Nach dem obigen Satz gilt AB = C. Denn eine Rotation um β gefolgt von einer Rotation um α ist eine Rotation um α + β. (Analog gilt BA = C und damit AB = BA.) Das Produkt von A und B berechnet sich zu

AB	= $( \begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} cos β & - sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} )$
	= $( \begin{matrix} cos α cos β - sin α sin β & - cos α sin β - sin α cos β \\ sin α cos β + cos α sin β & - sin α sin β + cos α cos β \end{matrix} )$

Durch Vergleich der Einträge der Matrizen AB und C können wir die Additionstheoreme ablesen.