Invertierbarkeit
Eine mathematische Operation wie die Addition, Multiplikation von Zahlen oder die Komposition von Abbildungen verknüpft zwei Objekte und erzeugt dadurch ein drittes Objekt des gleichen Typs. Oft gibt es ein neutrales Element wie die 0, 1 oder die Identität, die bei der Operation nichts ändert. In diesem Fall können wir nach der Existenz von Inversen fragen: Gibt es für ein gegebenes Objekt a ein Objekt b, sodass a verknüpft mit b und weiter b verknüpft mit a das neutrale Element ergibt? Bezeichnen wir die Operation mit ∗ und das neutrale Element mit e, so sind a und b invers zueinander, wenn gilt:
a ∗ b = e = b ∗ a(allgemeine Form inverser Elemente)
Beispiele
(1) | Addition in ℝ oder ℂ : Neutral ist die 0. Für jedes a ist −a invers zu a. Es gilt a + (−a) = 0 = (−a) + a = 0. |
(2) | Multiplikation in ℝ: Neutral ist die 1. Für jedes a ≠ 0 ist 1/a invers zu a. Es gilt a · 1/a = 1 = 1/a · a. Die Null besitzt kein Inverses bzgl. der Multiplikation. |
(3) | Addition im ℝn oder ℂn: Neutral ist der Nullvektor 0. Für alle Vektoren v ist −v invers zu v. Es gilt v + (−v) = 0 = (−v) + v. |
(4) | Addition von Matrizen im ℝm × n oder ℂm × n: Neutral ist die Nullmatrix. Für alle Matrizen A ist −A invers zu A. Es gilt A + (−A) = 0 = (−A) + A. |
(5) | Punktweise Addition von Funktionen von ℝ nach ℝ: Neutral ist die Nullfunktion. Für alle f ist −f invers zu f. Es gilt f + (−f) = 0 = (−f) + f. |
(6) | Punktweise Multiplikation von Funktionen von ℝ nach ℝ: Neutral ist die konstante Eins-Funktion. Eine Funktion f : ℝ → ℝ ist genau dann invertierbar, wenn f (x) ≠ 0 für alle x ∈ ℝ. In diesem Fall ist 1/f invers zu f. Es gilt f · (1/f) = 1 = f · (1/f). |
(7) | Komposition von Abbildungen von einer Menge M nach M: Neutral ist die Identität id : M → M mit id(a) = a für alle a ∈ M. Denn es gilt f ∘ id = f = id ∘ f für alle f : M → M. Ist f : M → M bijektiv, so ist die Umkehrabbildung f −1 : M → M invers zu f, da f ∘ f −1 = id = f −1 ∘ f. Ist f : M → M keine Bijektion, so besitzt f kein Inverses. |
Die Beispiele zeigen, dass Inverse für Operationen mit einem multiplikativen Charakter nicht immer existieren. Die Ausnahmerolle der Null für die multiplikativen Inversen in den reellen Zahlen ist das bekannteste Beispiel hierfür. Die Bedingung „f : M → M ist bijektiv“ für Abbildungen ist sehr stark, sodass nur besonders „gute“ Abbildungen ein Inverses besitzen. Das Gleiche gilt, wie wir nun sehen werden, für Matrizen − die wir ja auch als Abbildungen auffassen können.