Invertierbarkeit für Matrizen

Definition (invertierbar, Inverses, singulär)

Sei A  ∈  ℝn × n. Dann heißt A invertierbar, wenn eine Matrix B  ∈  ℝn × n existiert mit

AB  =  En  =  BA.

Die Matrix B heißt dann ein Inverses von A, und die Matrizen A und B heißen invers zueinander. Ist A nicht invertierbar, so heißt A singulär.

Wichtig: Quadratische Matrizen

Die Invertierbarkeit ist nur für quadratische Matrizen definiert. Nur dann ist AB = En = BA möglich.

Beispiele

(1)

Für alle n ist die Einheitsmatrix En invertierbar und invers zu sich selbst. Denn es gilt En En = En.

(2)

Sei A = ((1, 2), (3, 4))  ∈  ℝ2 × 2. Dann ist A invertierbar und die Matrix B = ((−2, 1), (3/2, −1/2)) ist invers zu A, da

1234−213/2−1/2 =  1001 =  −213/2−1/21234

(3)

Sei Aφ eine Rotations-Matrix. Dann ist A invertierbar und die Rotations-Matrix A−φ um den Winkel −φ ist invers zu A.

(4)

Die Matrix A = ((1, 0), (0, 0)) des ℝ2 × 2 ist singulär. Denn ist B = ((a, b), (c, d)), so gilt

1000abcd =  ab00 ≠  E2.

(5)

Allgemein gilt: Hat A  ∈  ℝn × n eine Nullzeile, so ist A singulär. Denn ist B  ∈  ℝn × n beliebig, so entsteht durch „Zeile mal Spalte“ im Produkt AB eine Nullzeile, sodass AB ≠ E2. Analoges gilt für Nullspalten: Hat A eine Nullspalte, so hat BA eine Nullspalte, sodass BA ≠ En.

 Die Beispiele werfen die folgenden Fragen auf:

(1)

Welche Matrizen sind invertierbar und welche sind singulär?

(2)

Wie berechnen wir im Fall der Existenz eine inverse Matrix?

Diesen Fragen werden wir im Folgenden nachgehen. Zunächst betrachten wir noch einige allgemeine Eigenschaften invertierbarer Matrizen.