Inversenregeln

Sei A  ∈  ℝ^n × n invertierbar. Dann gibt es genau ein B  ∈  ℝ^n × n mit

AB = E_n = BA.

Seien B, C invers zu A. Dann gilt B = B E_n = B (A C) = (B A) C = E_n C = C.

Das eindeutig bestimmte Inverse einer Matrix A bezeichnen wir mit A⁻¹.

Die Bruchnotation 1/A ist für Matrizen nicht üblich. Nach Definition des Inversen gilt A A⁻¹ = E_n = A⁻¹ A.

Seien A, B  ∈  ℝ^n × n invertierbar. Dann sind auch A⁻¹ und AB invertierbar. Weiter gilt:

(a)	(A⁻¹)⁻¹ = A,

(b)	(A B)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹.

zu (a): Sei B = A⁻¹. Da B invers zu A ist, gilt AB = E_n = BA. Nach Definition des Inversen ist A invers zu B, sodass A = B⁻¹ = (A⁻¹)⁻¹.

zu (b): Es gilt

(B⁻¹ A⁻¹) (AB) = B⁻¹ A⁻¹ A B = B⁻¹ E_n B = B⁻¹ B = E_n.

Analog ist (AB)(B⁻¹ A⁻¹) = E_n. Also ist B⁻¹A⁻¹ invers zu AB.

In der Regel (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ist die Umkehrung der Reihenfolge wichtig. Im Allgemeinen ist (AB)⁻¹ ≠ A⁻¹B⁻¹ (vgl. die Übungen).

Nützlich ist:

Sei A  ∈  ℝ^n × n invertierbar. Weiter sei B  ∈  ℝ^n × n mit BA = E_n oder AB = E_n. Dann ist B = A⁻¹.

Ist BA = E_n, so gilt B = B E_n = B A A⁻¹ = E_n A⁻¹ = A⁻¹. Der Fall AB = E_n wird analog behandelt.