Lineare Systeme und ihre Lösungen
In der Mathematik tauchen häufig reelle Gleichungssysteme der Form
a11 x1 + … + a1n xn = b1(erste Gleichung)
a21 x1 + … + a2n xn = b2(zweite Gleichung)
…
am1 x1 + … + amn xn = bm(m-te Gleichung)
auf. Es besteht aus m Gleichungen und n reellen Unbekannten oder Unbestimmten x1, …, xn. Die Koeffizienten aij und bi sind gegebene reelle Zahlen. Wir suchen Lösungen, also Vektoren x = (x1, …, xn) des ℝn, die alle Gleichungen des Systems erfüllen. Genauer müssten wir v = (v1, …, vn) schreiben und sagen, dass die Gleichungen erfüllt sind, wenn wir die Komponenten vi von v für die Unbestimmten xi einsetzen. Um die Sprechweise zu vereinfachen, schreiben wir die Lösungen gleich in der Form x = (x1, …, xn).
Die linke Seite unseres Systems hat die Form eines Matrix-Vektor-Produkts Ax mit einer Matrix m × n-Matrix A. Wir verwenden entsprechend Matrizen, um Gleichungssysteme zu notieren, zu untersuchen und zu lösen.
Definition (Gleichungssystem, Lösungsmenge)
Ein reelles lineares Gleichungssystem hat die Form Ax = b mit einer Koeffizientenmatrix A ∈ ℝm × n, Unbestimmten x = (x1, …, xn) und einer rechten Seite b ∈ ℝm. Ist b der Nullvektor, so heißt das System homogen. Andernfalls heißt es inhomogen. Die Menge
L = { x ∈ ℝn | Ax = b }
heißt die Lösungsmenge des Systems. Gilt L ≠ ∅, so heißt das System lösbar. Andernfalls heißt es unlösbar.
Spann der Spaltenvektoren
Ein System Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b im Spann der Spaltenvektoren von A liegt. Denn ist A = (u1; …; un), so gilt Ax = x1u1 + … + xnun nach Definition des Matrix-Vektor-Produkts.
Interpretation als Abbildung
Die Lösungsmenge des Systems ist das Urbild von b unter der linearen Abbildung A : ℝn → ℝm: Sie besteht aus allen Vektoren des ℝn, die durch A auf den Vektor b des ℝm abgebildet werden.
Homogene Systeme sind immer lösbar
Der Nullvektor ist eine Lösung von Ax = 0. Ein inhomogenes System kann dagegen unlösbar sein, etwa x1 + 2x2 = 0, x1 + 2x2 = 1.