Ein Beispiel zum Eliminationsverfahren

Wir führen das Gauß-Jordan-Verfahren durch für das 3 × 4-System

x₁ − x₂ + x₃ = −1, x₁ − x₂ + x₃ − x₄ = 1, x₃ + x₄ = −2

(0) $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 0 & | & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & - 2 \end{matrix} )$ (1) $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 0 & | & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & - 2 \end{matrix} )$

(2) $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 0 & | & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & - 2 \end{matrix} )$ (3) $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 0 & | & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & - 2 \end{matrix} )$

(4) $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 0 & | & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & - 2 \end{matrix} )$ (5) $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 & | & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & - 2 \end{matrix} )$

Zur Durchführung

Wir starten mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (0). Subtraktion der ersten Zeile von der zweiten liefert (1) und den ersten Pivot. Addition der dritten Zeile zur zweiten ergibt (2). Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der dritten und erhalten einen zweiten und dritten Pivot (3). Die Einträge über dem dritten Pivot sind bereits 0. Subtraktion der zweiten Zeile von ersten eliminiert den Eintrag über dem zweiten Pivot (4). Nun permutieren wir die Spalten 3→2, 4→3, 2→4 um E₃ auf der linken Seite zu erzeugen (5). Die Matrix (5) ist reduziert mit diagonalen Pivots.

Mit b = (−1, 0, −2) und a₄ = (−1, 0, 0) berechnet sich die Lösung von (5) zu:

U = $( \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix} )$ + span( $( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )$ )

Rückgängigmachen der Permutation (d. h. 2→3, 3→4, 4→2) liefert die Lösung von Ax = b:

L = $( \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix} )$ + span( $( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )$ )

Beispiel: Größere Matrizen

Wir betrachten noch den Fall mit fünf Gleichungen (m = 5) und sieben Unbekannten (n = 7), um die Bildung des Unterraums U zu illustrieren. Ohne das System konkret anzugeben, nehmen wir an, dass wir am Ende der Zeilen- und Spaltenumformungen die Matrix

B = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 4 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & - 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix} )$

erhalten haben. Es gilt r = 3, m − r = 2 und n − r = 4. Die beiden Nullzeilen zeigen an, dass zwei Gleichungen des Systems überflüssig sind. Sie spielen keine weitere Rolle. Der Unterraum U ⊆ ℝⁿ ist nun definiert durch

U = $( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )$ + span( $( \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )$ )

Der erste Vektor löst das zur Matrix B gehörige System. Die vier Vektoren des Spanns sind linear unabhängige Lösungen des zugehörigen homogenen Systems.