Permutationen und ihre Vorzeichen
Die Determinanten-Formeln
det(v; w) = v1 w2 − v2 w1, det(v; w; u) = 〈 v × w, u 〉
wirken recht verschieden. Wir können sie in gemeinsame Form bringen, indem wir das Kreuz- und Skalarprodukt ausrechnen. Wir erhalten (Übung):
Satz (Regel von Sarrus)
Sei A = (v; w; u) ∈ ℝ3 × 3. Dann gilt:
det(A) = v1 w2 u3 + w1 u2 v3 + u1 v2 w3 − u1 w2 v3 − w1 v2 u3 − v1 u2 w3.
In beiden Dimension werden also alle möglichen Permutationen der Indizes 1, 2 bzw. 1, 2, 3 betrachtet und entsprechende Produkte der Matrix-Einträge aufsummiert. Zusätzlich werden die Permutationen mit einem Vorzeichen versehen. Wir definieren hierzu allgemein:
Definition (Vorzeichen, gerade, ungerade)
Sei n ≥ 1. Eine Bijektion σ : { 1, …, n } → { 1, …, n } nennen wir auch eine Permutation auf { 1, …, n }. Wir setzen
Sn = { σ | σ ist eine Permutation auf { 1, …, n } }.
Für alle σ ∈ Sn ist das Vorzeichen sgn(σ) von σ definiert durch
sgn(σ) = (−1)k mit k = |{ (i, j) | i < j, σ(i) > σ(j) }|.
Ist sgn(σ) = 1 (sgn(σ) = −1), so heißt σ eine gerade (ungerade) Permutation.
Ist i < j, aber σ(i) > σ(j), so heißt (i, j) ein Fehlstand von σ. Eine gerade (ungerade) Permutation hat eine gerade (ungerade) Anzahl von Fehlständen.
Eine Permutation σ notieren wir auch in der Form σ = (σ(1), …, σ(n)). Der i-te Eintrag des Tupels ist der Wert σ(i).
Beispiel
σ = (3, 2, 1) ist die Permutation auf { 1, 2, 3 } mit σ(1) = 3, σ(2) = 2, σ(3) = 1. Die Permutation hat die Fehlstände (1, 2), (1, 3), (2, 3), sodass sgn(σ) = −1.
Aus den obigen Formeln lesen wir ab:
Satz (Leibniz-Formel)
Es gilt
| det(A) = ∑σ ∈ S2 sgn(σ) vσ(1) wσ(2) | für alle A = (v; w) ∈ ℝ2 × 2 |
| det(A) = ∑σ ∈ S3 sgn(σ) vσ(1) wσ(2) uσ(3) | für alle A = (v; w; u) ∈ ℝ3 × 3 |