Allgemeine Determinanten
Determinanten lassen sich für beliebige quadratische Matrizen definieren. Hierzu ist ein axiomatischer Zugang nützlich, der die Eigenschaften eines signierten Volumens an die Spitze stellt:
Definition (Determinantenfunktion)
Sei n ≥ 1. Dann heißt eine Abbildung det : ℝn × n → ℝ eine Determinantenfunktion auf ℝn × n, falls gilt:
(1) | det(En) = 1(Normiertheit) |
(2) | Hat A zwei gleiche Spalten, so gilt det(A) = 0(Alternation) |
(3) | det ist linear in jeder Spalte, d. h. für alle a1, …, ak, ak + 1, …, an ∈ ℝn und alle v, w ∈ ℝn, λ, μ ∈ ℝ gilt det( a1; …; ak − 1; λv + μw; ak + 1; …; an) = λ det( a1; …, ak − 1; v; ak + 1; …; an) + μ det( a1; …, ak − 1; w; ak + 1; …; an) (Multilinearität) |
Die Aussagen (1), (2), (3) heißen die Determinanten-Axiome. Für n = 1 ist die Identität eine Determinantenfunktion. Für n = 2 und n = 3 sind die oben betrachteten Determinanten auch Determinantenfunktionen im Sinne der allgemeinen Definition. Es gilt:
Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz)
Sei n ≥ 1. Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion det auf ℝn × n. Für alle A ∈ ℝn × n gilt
det(A) = ∑σ ∈ Sn sgn(σ) aσ(1), 1 … aσ(n), n(allgemeine Leibniz-Formel)
Beweisskizze
Für die Eindeutigkeit zeigen wir mit Hilfe der Determinanten-Axiome, dass zwei Determinantenfunktionen für Diagonalmatrizen und vermöge elementarer Spaltenoperationen für alle Matrizen übereinstimmen.
Für die Existenz weisen wir nach, dass die durch die Leibniz-Formel definierte Funktion normiert, alternierend und multilinear ist.
Mit Hilfe der Leibniz-Formel können wir die Determinante einer n × n-Matrix berechnen, in Analogie zur Regel von Sarrus. Dabei sind allerdings n! viele Permutationen zu berücksichtigen, sodass die Berechnung schnell sehr aufwendig wird. Ein effektiveres Verfahren werden wir gleich kennenlernen. Durch dieses Verfahren wird auch der Eindeutigkeitsbeweis klarer werden.