6. Eigenwerte

Im Zentrum dieses Kapitels steht die Eigenschaft Av = λv für eine quadratische Matrix A  ∈  ℝ^{n × n} und einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor v  ∈  ℝⁿ: Die Anwendung der Matrix A auf v bewirkt eine einfache Skalierung des Vektors v. Wir untersuchen die Frage, wie sich diese sogenannten Eigenwerte λ und Eigenvektoren v der Matrix A berechnen lassen. Im Idealfall gibt es eine Basis aus aufeinander senkrecht stehenden Eigenvektoren von A. Bezüglich einer solchen Basis verhält sich A wie eine Diagonalmatrix hinsichtlich der kanonischen Basis. Der Spektralsatz besagt, dass dieser Idealfall in den reellen Vektorräumen ℝⁿ genau genau für die symmetrischen Matrizen eintritt.