Eigenwerte und Eigenvektoren

Für eine quadratische Matrix A und einen Vektor v sind v und Av im allgemeinen nicht kollinear. Eine besonders übersichtliche Situation liegt vor, wenn ein Vektor v ≠ 0 durch A lediglich skaliert wird, d. h. Av liegt auf der von v erzeugten Geraden span(v). Es gibt dann ein λ  ∈  ℝ mit Av = λv.

Definition (Eigenwert, Eigenvektor)

Sei A  ∈  ℝ^{n × n}. Weiter seien λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝⁿ mit v ≠ 0. Dann heißt λ ein Eigenwert und v ein zugehöriger Eigenvektor von A, falls Av = λv. Wir nennen (λ, v) ein Eigenpaar von A und setzen

σ(A) = { λ  ∈  ℝ | λ ist ein Eigenwert von A } (Spektrum von A)

Eig(A, λ) = { v  ∈  ℝⁿ | Av = λv }(Eigenraum von A bzgl. λ)

Wichtig: Null und Nullvektor

(1)	Der Nullvektor ist nach Definition niemals ein Eigenvektor von A. Für alle λ  ∈  ℝ gilt A0 = 0 = λ0. Würden wir den Nullvektor zulassen, so wäre jeder Skalar λ ein Eigenwert von A, was wir nicht wollen.

(2)	In einen Eigenraum nehmen wir dagegen den Nullvektor immer auf. Die Eigenräume werden dadurch zu Unterräumen des ℝⁿ.

(3)	Der Skalar 0 kann ein Eigenwert von A sein oder nicht.

Die Vektoren v und w sind Eigenvektoren der Matrix A. Der zu v gehörige Eigenwert λ ist größer als 1, der zu w gehörige Eigenvektor liegt im Intervall ] −1, 0 [.

Beispiele

(1)	Wir betrachten die Einheitsmatrix E_n  ∈  ℝ^{n × n}. Für alle v  ∈  ℝⁿ gilt E_nv = v = 1 v. Damit erhalten wir σ(E_n) = { 1 }, Eig(E_n, 1) = ℝⁿ. Weiter gilt σ(−E_n) = { −1 }, Eig(−E_n, −1) = ℝⁿ, da −E_nv = −v = (−1)v für alle v  ∈  ℝⁿ.

(2)	Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 eine Rotation um den Winkel φ  ∈  [ 0, 2π [. Ist φ = 0, so ist A = E₂ und σ(A) = { 1 }. Ist φ = π, so ist A = −E₂ und damit σ(A) = { −1 }. Andernfalls besitzt A keine Eigenwerte, sodass σ(A) = ∅. Eine Rotation der Ebene besitzt also nur in speziellen Fällen Eigenwerte.

(3)

Sei A = ((0, 1); (1, 0))  ∈  ℝ^2 × 2. Die Matrix A ist symmetrisch. Sie bewirkt die Spiegelung eines Vektors an der Winkelhalbierenden. Es gilt A (1, 1) = (1, 1) und A (−1, 1) = (1, −1) = − (−1, 1). Damit gilt:

σ(A) = { 1, −1 }

Eig(A, 1) = span((1, 1))

Eig(A, −1) = span((−1, 1))

Die Eigenräume sind Geraden, die aufeinander senkrecht stehen.

Die Spiegelung an der Winkelhalbierenden hat die Eigenwerte 1 und −1. Je zwei zugehörige Eigenvektoren sind orthogonal.

Eigenräume sind Unterräume

Sind v und w Eigenvektoren von A  ∈  ℝ^{n × n} zum Eigenwert λ, so gilt

A(λ₁ v + λ₂ w) = λ₁ Av + λ₂ Aw = λ₁ λ v + λ₂ λ w = λ (λ₁ v + λ₂ w)

für alle λ₁, λ₂  ∈  ℝ. Damit ist Eig(A, λ) ein Unterraum des ℝⁿ. Ist k die Dimension dieses Unterraum und sind v₁, …, v_k linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert λ, so gilt

Eig(A, λ) = span(v₁, …, v_k).

Dies motiviert:

Definition (geometrische Vielfachheit)

Sei A  ∈  ℝ^{n × n}, und sei λ  ∈  ℝ ein Eigenwert von A. Dann heißt die Dimension des Unterraums Eig(A, λ) die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A.

In der Ebene ist ein Eigenraum eine Gerade durch den Ursprung oder die gesamte Ebene.

Geometrische Vielfachheit in der Ebene

(1)	Hat A  ∈  ℝ^2 × 2 zwei verschiedene Eigenwert λ und μ, so sind die zugehörigen Eigenräume zwei verschiedene Gerade durch den Nullpunkt. Es gilt Eig(A, λ) ∩ Eig(A, μ) = { 0 }.

(2)

Hat eine Matrix A  ∈  ℝ^2 × 2 einen Eigenwert λ der geometrischen Vielfachheit 2, so gibt es linear unabhängige v und w mit Av = λv und Aw = λw. Da v, w eine Basis des ℝ² bilden, gilt Eig(A, λ) = ℝ². Damit gilt Au = λu für alle u  ∈  ℝ². Speziell ist Ae₁ = λ ∈ ₁ und Ae₂ = λe₂, sodass A = Diag(λ, λ). Der Fall λ = 0 (Nullmatrix) ist möglich.

Im dreidimensionalen Raum ist ein Eigenraum entweder eine Gerade, eine Ebene oder der ℝ³.

Geometrische Vielfachheit im dreidimensionalen Raum

(1)	Die Matrix A = Diag(1, 2, 3) hat die Eigenwerte 1, 2, 3 der geometrischen Vielfachheit 1. Die Vektoren e₁, e₂, e₃ sind zugehörige Eigenvektoren. Die Eigenräume sind die Koordinatenachsen.

(2)

Die Matrix A = Diag(1, 1, 2) hat den Eigenwerte 1 der geometrischen Vielfachheit 2 sowie den Eigenwert 2 der geometrischen Vielfachheit 1. Die Vektoren e₁, e₂ sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1, der Vektor e₃ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2. Der Eigenraum von 1 ist die x-y-Ebene, der Eigenraum von 2 die z-Achse.

(3)	Die Matrix A = Diag(1, 1, 1) hat den Eigenwert 1 der geometrischen Vielfachheit 3. Es gilt Eig(1, A) = ℝ³.