Diagonalisierbarkeit und Spektralsatz
Ist A = Diag(λ1, …, λn) eine Diagonalmatrix des ℝn × n, so gilt Aiei = λiei für alle i = 1, …, n. Die Matrix A besizt also mit (e1, …, en) eine Basis aus Eigenvektoren. Wir definieren in Verallgemeinerung dieser Eigenschaft:
Definition (Diagonalisierbarkeit)
Eine Matrix A ∈ ℝn × n heißt diagonalisierbar, wenn es eine aus Eigenvektoren von A bestehende Basis (v1, …, vn) des ℝn gibt.
Beispiele
(1) | Jede Diagonalmatrix ist diagonalisierbar. |
(2) | A = ((1, 1), (2, 1)) ist diagonalisierbar (vgl. das Beispiel oben). |
(3) | A = ((1, 2, 3), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) ist nicht diagonalisierbar, da jeder Eigenvektor ein Vielfaches von e1 ist (vgl. das Beispiel oben). |
Man kann zeigen:
Satz (Diagonalisierbarkeitskriterium)
Sei A ∈ ℝn × n. Dann sind äquivalent:
(a) | A ist diagonalisierbar. |
(b) | Das charakteristische Polynom pA zerfällt in Linearfaktoren, pA(λ) = (−1)n (λ − λ1)μ1 (λ − λ2)μ2 … (λ − λk)μk mit λi ≠ λj für i ≠ j und für alle i ist μi die Dimension von Eig(A, λi), d. h. die algebraische Vielfachheit von λi ist gleich der geometrischen Vielfachheit. |
Noch größer wird die Analogie zu den Diagonalmatrizen, wenn wir fordern, dass die Vektoren einer Basis aus Eigenvektoren aufeinander senkrecht stehen. Hier gilt einer der bedeutsamsten Sätze der Mathematik:
Satz (Spektralsatz)
Sei A ∈ ℝn × n. Dann sind äquivalent:
(a) | A ist symmetrisch. |
(b) | Es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A, d. h. es gibt eine Basis (v1, …, vn) des ℝn mit Eigenvektoren v1, …, vn von A derart, dass alle Vektoren der Basis normiert sind und paarweise aufeinander senkrecht stehen. |
Die symmetrischen Matrizen sind in diesem Sinne „superdiagonalisierbar“ (vgl. hierzu auch die Übungen).