Vektorwertige reelle Funktionen
Sei m ≥ 1 eine gegebene Dimension. Wir betrachten Funktionen der Form f : ℝ → ℝm oder allgemeiner f : P → ℝm mit P ⊆ ℝ. Der Fall m = 1 entspricht den reellen Funktionen der eindimensionalen Analysis. Für m = 2 sind die Funktionswerte Vektoren der Ebene, für m = 3 Vektoren des dreidimensionalen Raums. Statt von Vektoren sprechen wir wie immer gleichwertig auch von Punkten. Die Stellen von f sind nach wie vor reelle Zahlen. Indem wir die Vektoren f (x) des ℝm in ihre Komponenten zerlegen, erhalten wir:
Definition (Komponentenfunktionen)
Sei f : P → ℝm. Dann heißen die reellen Funktionen f1, …, fm : P → ℝ mit
f (x) = (f1(x), …, fm(x)) für alle x ∈ P
die Komponenten- oder Koordinatenfunktionen von f.
Sind umgekehrt reelle Funktionen f1, …, fm : P → ℝ gegeben, so können wir eine Funktion f : P → ℝm definieren durch
f (x) = (f1(x), …, fm(x)) für alle x ∈ P.
Die Funktionen f1, …, fm sind dann die Komponentenfunktionen von f. Kurz: Eine vektorwertige Funktion der Dimension m besteht aus m reellen Funktionen mit demselben Definitionsbereich.
Beispiele
(1) | Sei f : ℝ → ℝm definiert durch f (x) = (x, …, x) = x (1, …, 1) für alle x ∈ ℝ. Dann gilt f1(x) = … = fm(x) = x für alle x ∈ ℝ. Jede Komponentenfunktion von f ist die Identität auf ℝ. |
(2) | Sei f : [ 0, 2π ] → ℝ2 definiert durch f (φ) = (cos φ, sin φ) für alle φ ∈ [ 0, 2π ]. Dann ist f1 die auf das Intervall [ 0, 2π ] eingeschränkte Kosinus-Funktion. Analog ist f2 die auf [ 0, 2π ] eingeschränkte Sinus-Funktion. |
(3) | Sei g : P → ℝ eine reelle Funktion. Wir definieren f : P → ℝ2 durch f (x) = (x, g(x)) für alle x ∈ P. Dann ist f1 die Identität auf P. Die zweite Komponente f2 von f ist gleich g. Es gilt f [ P ] = { f (x) | x ∈ P } = { (x, g(x)) | x ∈ P } = Graph(g) = g, wobei wir eine Funktion mit ihrem Graphen identifizieren. |