Tangentialvektoren
Die Differenzierbarkeit einer Funktion f : P → ℝm lässt sich wie die Stetigkeit über die Komponenten erklären. Wir beschränken uns auf die Kurven:
Definition (differenzierbar, Ableitung, Tangentialvektor, regulär, singulär)
Sei f : [ a, b ] → ℝm eine Kurve. Weiter sei t ∈ [ a, b ]. Dann heißt f (stetig) differenzierbar an der Stelle t, falls alle Komponenten f1, …, fm von f an der Stelle t (stetig) differenzierbar sind. Wir setzen in diesem Fall
f ′(t) = (f1′(t), …, fm′(t)) ∈ ℝm
und nennen f ′(t) die Ableitung oder den Tangentialvektor von f an der Stelle t. Ist f ′(t) ≠ 0, so heißt der Parameter t regulär. Ist f ′(t) = 0, so heißt t singulär. Die Kurve f heißt (stetig) differenzierbar, falls f (stetig) differenzierbar für alle t ∈ [ a, b ] ist.
Sehr anschaulich ist:
Dynamische Interpretation des Tangantialvektors
Bei unserer dynamischen Interpretation ist f ′(t) der Geschwindigkeitsvektor der Kurve f zum Zeitpunkt t. Der Betrag der Geschwindigkeit ist
λ = ∥ f ′(t) ∥ = .
Ist t regulär, so ist λ ≠ 0 und f ′(t)/λ die normierte Richtung der Geschwindigkeit. Diese Richtung ist tangential zur Spur von f. Ist t singulär, so steht der Punkt zur Zeit t still. Der Geschwindigkeitsvektor ist der Nullvektor.
Beispiele
(1) | Wir betrachten wieder die Kreisbewegung f : [ 0, 2π ] → ℝ2 mit f (t) = (cos t, sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π ]. Die Kurve f ist stetig differenzierbar mit f ′(t) = (cos′ t, sin′ t) = (−sin t, cos t) für alle t ∈ [ 0, 2π ]. Der Vektor f ′(t) ist der um π/2 gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Vektor (cos t, sin t). Tragen wir f ′(t) am Punkt f (t) an, so liegt f ′(t) tangential am Einheitskreis. Die Länge von f ′(t) ist gleich 1, was der gleichmäßigen Kreisbewegung entspricht. Die Richtung ändert sich, der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant. |
(2) | Ist g : [ a, b ] → ℝ differenzierbar und f : [ a, b ] → ℝ2 die zugehörige Kurve mit f (t) = (t, g(t)), so ist f differenzierbar mit f ′(t) = (1, g′(t)) für alle t. Der Vektor f ′(t) ist ein Richtungsvektor der Tangente von g an der Stelle t. Die Tangente ist die affine Gerade (t, g(t)) + span(f ′(t)). |
Einige Tangentialvektoren für den einfachen Durchlauf des Einheitskreises
f (t) = (cos t, sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π]
Für die Parabelkurve
f (t) = (cos(2t), sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π]
zeigen einige Tangentialvektoren aufgrund des Hin- und Zurücklaufens in entgegengesetzte Richtungen. Die Zeiten t3 = π/2 und t9 = 3 π/2 sind singulär. Ein sich gemäß der Kurve bewegende Punkt steht zu diesen Zeiten still, die Tangentialvektoren sind jeweils der Nullvektor.
Einige Tangentialvektoren für die Lemniskate (Schleifenkurve)
f (t) = (cos t1 + sin2(t), cos t sin t1 + sin2(t)) für alle t ∈ [ 0, 2π]
Die Kurve hat die Form einer liegenden Acht.