Gradienten
Die partiellen Ableitungen einer Funktion an einer Stelle können wir zu einem Vektor zusammenfügen:
Definition (Gradient)
Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝn, partiell differenzierbar an der Stelle p ∈ P. Dann heißt der Vektor
grad f (p) = (∂1f (p), …, ∂nf (p)) ∈ ℝn
der Gradient von f an der Stelle p.
Beispiel
Sei f : ℝ2 → ℝ mit f(x, y) = x2 + y2 für alle (x, y) ∈ ℝ2. Dann gilt
grad f(x, y) = (2x, 2y) = 2(x, y) für alle (x, y) ∈ ℝ2.
Der Gradient besitzt eine anschauliche geometrische Bedeutung. Hierfür definieren wir ein Analogon zur Tangente einer reellen Funktion für die exemplarische Dimension n = 2:
Definition (Tangentialebene)
Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝ2, partiell differenzierbar an der Stelle p = (x0, y0) ∈ P. Dann heißt die Funktion g : ℝ2 → ℝ mit
g(x, y) = f (p) + ∂1f (p) (x − x0) + ∂2f (p) (y − y0) für alle (x, y) ∈ ℝ2
die Tangentialebene von f an der Stelle p.
Die Tangentialebene legt sich an den Graphen von f so an wie die Tangente an eine eindimensionale Funktion. Es gilt
| g(x, y) | = f (p) + ∂1f (p) (x − x0) + ∂2f (p) (y − y0) |
| = f (p) + 〈 grad f (p), (x, y) − (x0, y0) 〉 = f (p) + 〈 grad f (p), (x, y) − p 〉 |
Das Skalarprodukt ist maximal, wenn der Vektor (x, y) − p parallel zu grad f (p) ist (und minimal im antiparallelen Fall). Steht (x, y) − p senkrecht auf dem Gradienten, so ist das Skalarprodukt gleich 0. In diesem Fall ist g(x, y) = f (p), sodass (x, y) auf der linearen Approximation der Höhenlinie nivf(f (p)) an der Stelle p liegt. Wir erhalten damit:
Geometrische Bedeutung des Gradienten: Steigungskompass
Der Gradient grad f (p) zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von f an der Stelle p. Er steht senkrecht auf der Niveaumenge nivf(c) für c = f (p).
Allgemein gilt dies nicht nur für n = 2, sondern für jede Dimension n ≥ 1.
Die Gradienten „leben“ im Definitionsbereich der Funktion. Sie lassen sich besonders gut mit Hilfe von Kontur-Plots veranschaulichen, indem wir einige Gradienten an die Höhenlinien anheften. Wir betrachten als Beispiel die Funktion f : ℝ2 → ℝ mit f(x, y) = x y für alle (x, y) ∈ ℝ2:
Einige Gradienten in einem Kontur-Plot der Funktion f mit f(x, y) = x y