Der Nabla-Operator
Das Rechnen mit Gradienten wird oft übersichtlicher und suggestiver, wenn wir den n-dimensionalen Nabla-Operator
∇ = (∂1, …, ∂n) = (∂∂x1, …, ∂∂xn)
verwenden. Dieser Operator kann auf eine partiell differenzierbare Funktion f : P → ℝ, P ⊆ ℝn, angewendet werden und liefert
∇ f = (∂1, …, ∂n) f = (∂1f, …, ∂nf) = grad f.
Der Nabla-Operator ist mehr als eine neue Schreibweise für den Gradienten. Mit seiner Hilfe können wir weitere Differentialoperatoren einfach einführen. Sie spielen vor allem in der Physik eine wichtige Rolle.
Die Divergenz
Ist g : P → ℝn ein stetig differenzierbares Vektorfeld, so setzen wir:
〈 ∇, g 〉 = 〈 (∂1, …, ∂n), (g1, …, gn) 〉 = ∂1 g1 + … + ∂n gn
Wir schreiben auch div g statt 〈 ∇, g 〉 und nennen div g : P → ℝ die Divergenz des Vektorfeldes g. Ist p ∈ P und gilt div g (p) > 0 bzw. div g (p) < 0, so heißt p eine Quelle bzw. Senke von g. Gilt div(g)(p) = 0, so heißt g quellfrei an der Stelle p.
Die Rotation
Ist g : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3, ein stetig differenzierbares Vektorfeld, so setzen wir:
∇ × g = (∂1, ∂2, ∂3) × (g1, g2, g3) = (∂2 g3 − ∂3 g2, ∂3 g1 − ∂1 g3, ∂1 g2 − ∂2 g1)
Wir schreiben auch rot g statt ∇ × g und nennen rot g die Rotation des Vektorfeldes g. Ist p ∈ P mit rot g (p) = 0, so heißt g wirbelfrei an der Stelle p. Die Rotation ist wie das Kreuzprodukt für Vektoren eine Besonderheit der Dimension 3.
Der Laplace-Operator
Ist f : P → ℝ, P ⊆ ℝn, zweimal stetig differenzierbar, so setzen wir:
∆ f = ∇2f = 〈 ∇, ∇ f 〉 = div grad f
Wir nennen ∆ den Laplace-Operator. Angewendet auf eine skalarwertige Funktion erzeugt dieser Operator wieder eine skalarwertige Funktion. Es gilt
∆ f = ∂1 ∂1 f + … + ∂n ∂n f.