Integration in ebenen Polarkoordinaten
Die Verwendung von Polarkoordinaten vereinfacht oftmals die Berechnung von mehrdimensionalen Integralen. Wir nehmen hierzu an, dass der Definitionsbereich der zu integrierenden Funktion ein Vollkreis KR der Ebene mit Mittelpunkt 0 und Radius R ist. Durch Nullfortsetzung der Funktion können wir den Definitionsbereich KR zu einem Quadrat erweitern, sodass der Begriff der Integrierbarkeit erklärt ist. In Analogie zur schnittweisen Integrierbarkeit setzen wir zudem die polare Integrierbarkeit voraus, d. h., die Existenz der Integrale aller Kreis- und Radialschnitte der Funktion. Diese technische Voraussetzung ist in allen einfachen Beispielen erfüllt. Es gilt:
Satz (Integration in ebenen Polarkoordinaten)
Sei f : KR → ℝ eine polarintegrierbare Funktion. Dann gilt:
| I(f) | = ∫R0∫2π0 f (r cos φ, r sin φ) r dφ dr |
| = ∫2π0 ∫R0 f (r cos φ, r sin φ) r dr dφ. |
Bei der ersten Integrationsreihenfolge integrieren wir für jeden Radius r des Intervalls [ 0, R ] über die zentrische Kreislinie mit Radius r. Die Funktion wird dadurch „Kreis für Kreis“ integriert (vergleichbar einer Schallplatte). Bei der zweiten Reihenfolge integrieren wir dagegen über alle Radien des Kreises KR (vergleichbar dem rotierenden Licht eines Leuchtturms). Bei der Integration in Polarkoordinaten wird im Gegensatz zu den kartesischen Koordinaten ein „Korrekturfaktor“ r nötig, denn der Umfang eines Kreises mit Radius r ∈ [ 0, R ] ist das r-fache des Umfangs des Einheitskreises.
Beispiel 1: Kreisfläche
Sei R > 0, und sei f : KR → ℝ konstant gleich 1 auf KR. Dann ist das Integral I(f) die Fläche eines Kreises mit Radius R. Polar berechnet gilt
I(f) = ∫R0 ∫2π0 1 r dφ dr = ∫R0 2π r dr = = R2π.
Beispiel 2: Paraboloid
Sei R > 0, und sei f : KR → ℝ mit f(x, y) = x2 + y2. Der Graph von f ist ein Paraboloid mit Radius R, und I(f) ist das Volumen, das dieses Paraboloid mit der x-y-Ebene einschließt. Auf KR gilt f (r cosφ, r sinφ) = r2, sodass
I(f) = ∫R0 ∫2π0 r2 r dφ dr = ∫R0 2π r3 dr = = R4π2.