Anwendung: Die Gaußsche Glockenkurve

Definition (Gaußsche Glockenkurve)

Die Gaußsche Glockenkurve ist die Funktion g : ℝ → ℝ mit

g(x) = e^−x²/2 für alle x  ∈  ℝ.

Die Gaußsche Glockenkurve

Die Glockenkurve spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle (normalverteilte Zufallsvariablen). Das uneigentliche Integral

γ = ∫^∞_−∞ e^−x²/2 dx

ist nicht leicht zu berechnen, da die Gaußsche Glockenkurve keine elementare Stammfunktion besitzt. Mit Hilfe einer auf unbestimmte Integrale erweiterten zweidimensionalen Integration in Polarkoordinaten können wir γ überraschend einfach berechnen. Es gilt:

γ²	= ( ∫^∞_−∞ e^−x²/2 dx ) ( ∫^∞_−∞e^−y²/2 dy ) = ∫^∞_−∞ (∫^∞_−∞ e^−x²/2 dx) e^−y²/2 dy
	= ∫^∞_−∞ ∫^∞_−∞ e^−x²/2 e^−y²/2 dx dy = ∫^∞_−∞ ∫^∞_−∞ e^{−(x² + y²)/2} dx dy
	= ∫^∞₀ ∫^2π₀ e^−r²/2 r dφ dr = 2π lim_R → ∞ ∫^R₀ e^−r²/2 r dr
	= 2π lim_R → ∞ ${[- e^{- r^{2} / 2}]}_{r = 0}^{r = R}$ = 2π · 1 = 2π.

Damit ist also γ = $\sqrt{2 π}$ .