Integration in räumlichen Polarkoordinaten

Eine dreidimensionale Variante der ebenen Polarkoordinaten verwendet zur Beschreibung eines Punktes (x, y, z)  ∈  ℝ³ die Koordinaten r, θ, φ:

(1)	Die Koordinate r ≥ 0 ist die Euklidische Länge von (x, y, z).

(2)	Die Koordinate θ  ∈  [ 0, π ] ist der Winkel, den (x, y, z) mit der positiven z-Achse einschließt.

(3)	Die Koordinate φ  ∈  [ 0, 2π [ ist der Winkel der Projektion (x, y, 0) von (x, y, z) auf die x‑y‑Ebene wie bei ebenen Polarkoordinaten.

Räumliche Polarkoordinaten (r, θ, φ) eines Punktes P (Kugelkoordinaten)

r: Radius

θ: Polarwinkel

φ: Azimutwinkel

Ist der Radius r fest, so definiert ein Winkel θ einen Breitenkreis der Oberfläche einer Kugel mit Radius r. Ein Winkel φ definiert entsprechend einen Längenkreis. Die Umrechnung von Polarkoordinaten (r, θ, φ) in kartesische Koordinaten (x, y, z) erfolgt durch die Formel

(x, y, z) = r (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ).

Für die Integration gilt:

Satz (Integration in räumlichen Polarkoordinaten)

Sei K_R ⊆ ℝ³ die Vollkugel mit Radius R > 0. Weiter sei f : K_R → ℝ polarintegrierbar. Dann gilt

I(f) = ∫^R₀ ∫^π₀ ∫^2π₀f(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) r² sin θ dφ dθ dr.

Erneut sind alle anderen Reihenfolgen der drei Integrale gleichwertig.

Den Korrekturfaktor r² sin(θ) können wir so erklären: Bei festem Radius r durchlaufen wir in den Winkeln θ und φ die Oberfläche einer Kugel mit Radius r. Diese Oberfläche wächst quadratisch im Radius, was bei der Integration durch den Faktor r² berücksichtigt wird. Eine Kugeloberfläche wird in Breitenkreisen durchlaufen, in deren Radius (und damit Umfang) der Faktor sin(θ) eingeht. Insgesamt ergibt sich so r² sin(θ).

Beispiel: Kugelvolumen

Sei K ⊆ ℝ³ die Vollkugel mit Mittelpunkt 0 und Radius R > 0, d. h.

K = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x² + y² + z² ≤ R² }.

In Polarkoordinaten gilt

K = { (r, θ, φ)_polar  ∈  ℝ³ | r  ∈  [ 0, R ], θ  ∈  [ 0, π ], φ  ∈  [ 0, 2π ] }.

Damit berechnet sich das Volumen V(K) mit Hilfe der Indikatorfunktion von K und räumlicher Polarkoordinaten wie folgt:

V(K)	= ∫^R₀∫^π₀∫^2π₀ 1 · r² sin θ dφ dθ dr
	= ∫^R₀∫^π₀ 2π r² sin θ dθ dr
	= 2π ∫^R₀r² ${[- cos θ]}_{0}^{π}$ dr
	= ∫^R₀ 4 π r² dr = ⁴₃ R³ π