Lösungen zu den Übungen

Übung 1

Berechnen Sie:

(a)	∫_P x² + y² d(x, y) mit P = [ −1, 1 ]³

(b)	∫_P x² + y² d(x, y) mit P = { (x, y)  ∈  ℝ² \| x² + y² ≤ 1 }

Berechnen Sie das Integral (a) mit kartesischen Koordinaten und das Integral (b) sowohl mit kartesischen als auch mit Polarkoordinaten.

Lösung zur Übung 1

zu (a): Es gilt

∫_P x² + y² d(x, y)	= ∫¹_-1 ∫¹_-1 x² + y² dx dy
	= ∫¹₋₁ ${[x^{3} / 3 + y^{2} x]}_{x = - 1}^{x = 1}$ dy
	= ∫¹₋₁ 2/3 + 2 y² dy = ${[2 / 3 y + {2 y}^{3} / 3]}_{- 1}^{1}$ dy = ⁸₃

zu (b): Kartesisch gilt mit w_y = $\sqrt{1 - y^{2}}$ für y  ∈  [ −1, 1 ], dass

∫_P x² + y² d(x, y)	= ∫¹_-1 ∫^w_y_{-w_y} x² + y² dx dy
	= ∫¹₋₁ ${[x^{3} / 3 + y^{2} x]}_{x = - w_{y}}^{x = w_{y}}$ dy
	= ²₃ ∫¹₋₁ w_y (1 + 2y²) dy
	= ¹₆ ${[w_{y} ({2 y}^{3} + y) + 3arcsin (y)]}_{- 1}^{1}$ = ^π₂,

wobei die Stammfunktion mit Hilfe der Integrationsregeln gefunden werden kann (vgl. Kreisintegral). In Polarkoordinaten wird die Berechnung deutlich einfacher. Hier gilt (vgl. auch das Beispiel im Text oben):

∫_P x² + y² d(x, y)	= ∫¹₀ ∫^2π₀ r² r dφ dr
	= ∫¹₀ r³ 2π dr = 2π ${[r^{4} / 4]}_{0}^{1}$ = ^π₂

Übung 2

Sei f : [ a, b ] → ℝ eine stetige Funktion. Weiter sei A ⊆ ℝ³ Menge, die entsteht, wenn wir den Graphen von f im dreidimensionalen Raum um die x-Achse rotieren, d. h. A ist der durch f definierte Rotationskörper des ℝ³.

(a)	Geben Sie A als Menge an in der Form A = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ \| ℰ(x, y, z) }.

(b)	Begründen Sie die Volumenformel V(A) = π ∫^b_af (x)² dx.

(c)	Seien a, h  ∈  ℝ mit a, h > 0, und sei f : [ 0, h ] → ℝ mit f (x) = ax. Welche geometrische Form hat der Rotationskörper A von f? Berechnen Sie zudem das Volumen V(A).

Lösung zur Übung 2

zu (a):

Ein Punkt (x, y, z)  ∈  ℝ³ gehört genau dann der Menge A an, wenn x ein Element von [ a, b ] und die Länge des Vektors (y, z) kleinergleich dem Betrag von f (x) ist. Damit gilt

A = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x  ∈  [ a, b ], y² + z² ≤ f (x)² }

zu (b):

Ist x  ∈  [ a, b ], so ist der x-Schnitt S₁(A, x) ein Kreis mit dem Radius |f (x)|, sodass der Schnitt die Fläche f (x)²π besitzt. Folglich gilt

V(A) = ∫^b_af (x)² π dx = π ∫^b_af (x)² dx.

zu (c): Der Rotationskörper A von f ist ein Kreiskegel mit Höhe h und Radius a. Nach der Volumenformel in (b) gilt

V(A) = π ∫^h₀ (ax)² dx = π ^a² h³₃ = ^F h₃,

wobei F = (ah)² π. Damit ergibt sich die elementargeometrische Formel „1/3 Grundfläche mal Höhe“.

Übung 3

Wir betrachten einen Kegelstumpf S der Höhe h und den Radien r₁ > r₂. Begründen Sie elementargeometrisch die Formel

M(S) = (r₁ + r₂) s π, wobei s = $\sqrt{(r_{1} - r_{2})^{2} + h^{2}}$

für die Mantelfläche von S. Erstellen Sie eine Skizze zur Illustration.

Lösung zur Übung 3

Mantelfläche eines Kegels: Sei K ein Kreiskegel mit Höhe h, Radius r und Mantellänge

s = $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ .

Der Umfang der Grundfläche von K ist 2rπ. Schneiden wir K entlang einer Mantellinie auf, so erhalten wir einen Kreissektor mit Radius s und Kreisbogenlänge 2rπ. Die Fläche eines Kreissektors ist „1/2 · Radius · Kreisbogenlänge“, so dass

(+) M(K) = ¹₂ s 2 r π = s r π.

Mantelfläche eines Kegelstumpfs: Ein Kegelstumpf S der Höhe h mit den Radien r₁ > r₂ ist ein bei der Höhe h abgeschnittener Kreiskegel mit Radius r₁, Gesamthöhe h + h′ und Mantelbogenlänge s + s′ (vgl. Skizze).

Nach dem Strahlensatz gilt (s + s′)/r₁ = s′/r₂, sodass s′ = r₂ s/(r₁ − r₂) und s′(r₁ − r₂) = r₂ s. Mit (+) erhalten wir:

M(S)	= (s + s′) r₁ π − s′ r₂ π
	= (s r₁ + s′ (r₁ − r₂)) π = (r₁s + r₂s ) π = (r₁ + r₂) s π.

Die Formel s = $\sqrt{(r_{1} - r_{2})^{2} + h^{2}}$ folgt aus dem Satz des Pythagoras.

Übung 4

Führen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners oder Computers eine numerische Berechnung der Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 durch, indem Sie die Kugeloberfläche durch n gleichhohe Kegelstümpfe approximieren, wobei n = 4, 8, 16 (und optional auch n = 32, 64, 128, 256). Vergleichen Sie die Werte numerisch mit 4 π.

Lösung zur Übung 4

Sei n ≥ 1 beliebig und sei h_n = 2/n. Approximieren wir die Einheitssphäre

{ (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x² + y² + z² = 1 }

durch n gleichhohe Kegelstümpfe K₀, …, K_n − 1 entlang der z-Achse, so hat K_k die Höhe h = 2/n und die Radien r_k, r_k + 1 mit

r_k = $\sqrt{1 - t_{k}^{2}}$ , wobei t_k = −1 + k h für k = 0, …, n − 1.

Die Approximation ist also durch die Formel

A_n = ∑_{0 ≤ k < n} π(r_k + r_k + 1) $\sqrt{(r_{k} - r_{k + 1})^{2} + h^{2}}$

gegeben. Es gilt lim_n A_n = 4π = 12,56637061… Numerisch erhalten wir:

n	A_n	4π − A_n
4	11,51049	1,0559
8	12,26840	0,29797
16	12,48337	0,082998
32	12,54349	0,022876
64	12,56012	0,0062506
128	12,56468	0,0016956
256	12,56591	0,00045712

Approximation der Einheitssphäre durch acht gleichhohe Kegelstümpfe