Lösungen zu den Aufgaben (Set I)

Aufgabe 1: Geometrische Reihe

(a)	Bestimmen Sie das eindeutige q  ∈  ℝ mit ∑_n ≥ 1 qⁿ = $\sqrt{2}$ . (3 Punkte)

(b)	Sei q = 1/3. Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen: q⁰ + q¹ + q² + … + qⁿ + … (1 Punkt) q⁰ + q² + q⁴ + … + q²ⁿ + … (1 Punkt) q¹ + q³ + q⁵ + … + q^2n + 1 + … (1 Punkt)

Lösung zu Aufgabe 1

zu (a): Nach der Summenformel für die geometrische Reihe ab 1 gilt

∑_n ≥ 1 qⁿ = ^q_1 − q für alle q  ∈  ] −1, 1 [.

Sei w = $\sqrt{2}$ . Wir lösen die Gleichung q/(1 − q) = w nach q auf. Aus

q = (1 − q) w = w − qw,

erhalten wir q + qw = w und damit

q	= ^w_1 + w = ^w(1 − w)_{(1 + w)(1 − w)} = ^w − w²_1 − w²
	= ^w − 2₋₁ = 2 − w = 2 − $\sqrt{2}$  ∈  ] −1, 1 [.

zu (b): Es gilt

q⁰ + q¹ + q² + … + qⁿ + …	= ¹_1 − q = ¹_1 − 1/3 = ³₂
q⁰ + q² + q⁴ + … + q²ⁿ + …	= ∑_n ≥ 0 (q²)ⁿ
	= ¹_1 − q² = ¹_1 − 1/9 = ⁹₈
q¹ + q³ + q⁵ + … + q^2n + 1 + …	= ∑_n ≥ 0 qⁿ − ∑_n ≥ 0 (q²)ⁿ
	= ³₂ − ⁹₈ = ^12 − 9₈ = ³₈

Alternatives Argument für den Wert der dritten Reihe:

q¹ + q³ + q⁵ + … = q (q⁰ + q² + q⁴ + … ) = ¹₃ ⁹₈ = ³₈

Aufgabe 2: Höhere Ableitungen und vollständige Induktion

Sei f : ℝ → ℝ die Funktion mit f (x) = x e^x für alle x  ∈  ℝ.

(a)	Bestimmen Sie die Ableitungen f ′, f ″, f ″′.(1.5 Punkte)

(b)	Geben Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung f ⁽ⁿ⁾ von f an, wobei n ≥ 1.(1 Punkt)

(c)	Beweisen Sie Ihre Formel in (b) durch vollständige Induktion. (3.5 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 2

zu (a):

Nach der Produktregel gilt

f ′(x) = 1 e^x + x e^x = (1 + x) e^x

f ″(x) = 1 e^x + (1 + x) e^x = (1 + 1 + x ) e^x = (2 + x) e^x

f ″′(x) = 1 e^x + (2 + x) e^x = (1 + 2 + x ) e^x = (3 + x) e^x

zu (b):

Es gilt

f ⁽ⁿ⁾(x) = (n + x) e^x für alle n ≥ 1.

zu (c):

Wir zeigen die Formel in (b) durch Induktion nach n ≥ 1.

Induktionsanfang n = 1:

Es gilt

f ⁽¹⁾(x) = f ′(x) = (1 + x) e^x.

Induktionsschritt von n nach n + 1:

Es gelte

f ⁽ⁿ⁾(x) = (n + x) e^x (Induktionsvoraussetzung).

Dann gilt

f ^(n + 1)(x)	= ^d_dx f ⁽ⁿ⁾(x)
	= _I. V. ^d_dx (n + x) e^x
	= 1 e^x + (n + x) e^x
	= (1 + n + x) e^x
	= ((n + 1) + x) e^x

Aufgabe 3: Taylor-Entwicklung

Sei f : ℝ → ℝ die Funktion mit f (x) = ³ $\sqrt{x}$ für alle x  ∈  ℝ.

(a)	Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Ordnung 3 von f im Entwicklungspunkt p = 1.(3 Punkte)

(b)	Welchen Konvergenzbereich der Taylor-Reihe von f erwarten Sie für p = 1? Eine kurze Antwort ohne Begründung genügt.(1 Punkt)

(c)	Ist das Taylor-Polynom T³_p g : ℝ → ℝ einer dreimal differenzierbaren Funktion g : ℝ → ℝ immer ein Polynom dritten Grades? Begründen Sie Ihre Antwort.(2 Punkte)

Optional: Skizze der Taylor-Entwicklung

Lösung zu Aufgabe 3

zu (a):

Die ersten Ableitungen von f und ihre Werte bei p = 1 berechnen sich zu:

f ′(x) = ^d_dx x^1/3 = ¹₃ x^−2/3	f ′(1) = ¹₃
f ″(x) = ¹₃ ^d_dx x^−2/3 = − ²₉ x^−5/3	f ″(1) = − ²₉
f″′(x) = − ²₉ ^d_dx x^−5/3 = ¹⁰₂₇ x^−8/3	f ″′(1) = ¹⁰₂₇

Damit gilt

T³₁ f (x)	= f (1) + f ′(1)(x − 1) + ^f ″(1)₂ (x − 1)² + ^{f ″′(1)}₆ (x − 1)³
	= 1 + ^x − 1₃ − ^{(x − 1)²}₉ + ^{5(x − 1)³}₈₁

zu (b):

Das Intervall [ 0, 2 ]. (Aufgrund der Polstelle von f ′ bei 0 kann das Konvergenzintervall nicht über den Nullpunkt hinausgehen.)

zu (c):

Nein. Es gilt

T³_p g (x) = g(p) + g′(p)(x − p) + ^g″(p)₂ (x − p)² + ^g″′(p)₆ (x − p)³

Ist g″′(p) = 0, so ist der Grad von g kleiner oder gleich 2. Dies ist zum Beispiel für jedes Polynom zweiten Grades und p beliebig oder für die Funktion g = cos und p = 0 der Fall.

Einige Taylor-Polynome der dritten Wurzelfunktion f im Entwicklungspunkt p = 1. Die Taylor-Reihe konvergiert im Intervall [ 1, 2 ].

Aufgabe 4: Integration

(a)	Sei f : [ 1, 2 ] → ℝ mit f (x) = x² − 1 für alle x  ∈  [ 1, 2 ]. Visualisieren Sie die Riemann-Summe von f für die äquidistante Partition p von [ 1, 2 ] der Länge 5 mit mittigen Stützstellen durch ein beschriftetes Diagramm. (2 Punkte)

(b)	Schreiben Sie die Riemann-Summe aus (a) als konkrete Summe in der Form ∑_{0 ≤ k < 5} … Die Summe muss weder vereinfacht noch berechnet werden.(1 Punkt)

(c)	Bestimmen Sie ∫ 4 x² sin(2x) dx schrittweise mit Hilfe partieller Integration.(3 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 4

zu (a):

Visualisierung der Riemann-Summe der Funktion f auf [ 1, 2 ] für die äquidistante Partition von [ 1, 2 ] der Länge 5 mit mittigen Stützstellen

zu (b):

Die Riemann-Summe in (a) lautet

∑_{0 ≤ k < 5} ^{(1 + k/5 + 1/10)² − 1}₅

zu (c):

Wir verwenden die Stammfunktionen

−cos(2x)/2 von sin(2x)

sin(2x)/2 von cos(2x)

und zweimalige partielle Integration:

∫ 4 x² sin(2x)	= 4 x² (− cos(2x)/2) − ∫ 8 x (− cos(2x)/2) dx
	= − 2 x² cos(2x) + ∫ 4 x cos(2x) dx
	= − 2 x² cos(2x) + 4 x sin(2x)/2 − ∫ 4 sin(2x)/2 dx
	= − 2 x² cos(2x) + 2 x sin(2x) − ∫ 2 sin(2x) dx
	= − 2 x² cos(2x) + 2 x sin(2x) + cos(2x)
	= (1 − 2 x²) cos(2x) + 2 x sin(2x)