Inhalt
Vorwort
1. Abschnitt Grundlagen
1. Logik
Elemente der Mathematik
Junktoren
Wahrheitstafeln
Das Wahrheitstafelverfahren
Quantoren
Quantorenregeln
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Mengen und Relationen
Mengen und ihre Elemente
Die Komprehension
Die Russell-Zermelo-Antinomie
Mengenoperationen
Geordnete Paare und Kreuzprodukt
Relationen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Funktionen
Der anschauliche Funktionsbegriff
Der mengentheoretische Funktionsbegriff
Darstellungen und Interpretationen
Abbildungseigenschaften
Die Komposition
Umkehrfunktion und Einschränkung
Bild und Urbild
Verschiedene Bemerkungen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
4. Natürliche Zahlen und Induktion
Anschauliches Zählen
Die Dedekind-Peano-Axiome
Die natürlichen Zahlen
Arithmetik und Ordnung auf den natürlichen Zahlen
Induktionsbeweise
Die Gauß-Summe
Das Prinzip vom kleinsten Element
Übungen
Lösungen zu den Übungen
5. Rationale und reelle Zahlen
Der naive Zahlbegriff
Zahlen auf einer Linie
Die Körperaxiome
Die rationalen Zahlen
Die Existenz irrationaler Zahlen
Suprema und Infima
Das Vollständigkeitsaxiom
Endliche und unendliche Dezimalbrüche
Unendliche Dezimaldarstellungen
Exkurs: Endliche Körper
Übungen
Lösungen zu den Übungen
6. Komplexe Zahlen
Die reelle Ebene als Körper
Der Körper der komplexen Zahlen
Die geometrische Deutung der Multiplikation
Imaginärteil, Realteil und Betrag
Die komplexe Konjugation
Polarkoordinaten
Der Fundamentalsatz der Algebra
Die Darstellung komplexer Funktionen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Abschnitt Grundbegriffe der Analysis
1. Die elementaren Funktionen
Reelle Funktionen
Polynome
Nullstellen von Polynomen
Rationale Funktionen
Exponentialfunktionen und Logarithmen
Die trigonometrischen Funktionen
Die Arkusfunktionen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Folgen und ihre Grenzwerte
Unendliche Folgen
Grenzwerte von Folgen
Der Nachweis der Konvergenz und Divergenz
Epsilon-Umgebungen
Uneigentliche Konvergenz
Die Limesregeln
Konvergenzkriterien für Folgen
Grenzwerte in den komplexen Zahlen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Unendliche Reihen
Unendliche Reihen und ihre Partialsummen
Die harmonische Reihe
Die geometrischen Reihen
Konvergenzkriterien für Reihen
Die Exponentialreihen
Unendliche Reihen in den komplexen Zahlen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
4. Stetigkeit
Die Folgenstetigkeit
Die Umgebungsstetigkeit
Der Zwischenwertsatz
Der Extremwertsatz
Stetigkeit für komplexe Funktionen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Abschnitt Ableitungen und Integrale
1. Differenzierbarkeit
Grenzwerte für Funktionen
Differentialquotienten
Tangenten und lineare Approximation
Die Ableitung als Funktion
Kurvendiskussion
Komplexe Differenzierbarkeit
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Differentialrechnung
Die Berechnung von Differentialquotienten
Die Ableitungsregeln
Die Ableitung der Exponentialfunktion
Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen
Ableitung von Kosinus und Sinus
Ableitungen der elementaren Funktionen
Die Eulersche Formel
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Die Taylor-Entwicklung
Schmiegeparabeln
Taylor-Polynome
Taylor-Reihen
Darstellung der gesamten Funktion als Taylor-Reihe
Teilweise Darstellung als Taylor-Reihe
Darstellung als Taylor-Reihe nur im Entwicklungspunkt
Noch einmal die Eulersche Formel
Übungen
Lösungen zu den Übungen
4. Integration
Riemann-Summen
Das Riemann-Integral
Integrierbare Funktionen
Elementare Eigenschaften des Integrals
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Die Existenz von Stammfunktionen
Uneigentliche Integrale
Das Integral als Mittelwert
Übungen
Lösungen zu den Übungen
5. Integrationsregeln
Unbestimmte Integrale
Die Integration rationaler Funktionen
Partielle Integration
Die Substitutionsregel
Optimale Substitutionen
Nichtelementare Stammfunktionen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
6. Fourier-Reihen
Die Problemstellung
Trigonometrische Polynome und Reihen
Die Koeffizientenformeln
Fourier-Reihen und der Konvergenzsatz von Dirichlet
Beispiele
Komplexe Fourier-Reihen
Visualisierung komplexer Fourier-Reihen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
4. Abschnitt Vektoren
1. Reelle und komplexe Vektoren
Vektoren im ℝn
Spezielle Vektoren
Die Vektoraddition
Die Skalarmultiplikation
Komplexe Vektoren
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Norm und Skalarprodukt
Die Euklidische Norm
Die Dreiecksungleichung
Der Euklidische Abstand
Das Euklidische Skalarprodukt
Die Binomischen Formeln
Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz
Norm und Skalarprodukt im Komplexen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Winkel und Projektion
Der Kosinussatz
Die Winkelformel
Orthogonalität und Kollinearität
Die orthogonale Projektion
Höhere Dimensionen und komplexe Vektoren
Übungen
Lösungen zu den Übungen
4. Geraden
Der Spann eines Vektors
Die Translation einer Menge
Affine Geraden
Der Schnitt zweier Geraden
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden
Geraden als algebraische Kurven ersten Grades
Die Hesse-Normalform einer affinen Geraden
Algebraische Kurven zweiten Grades
Übungen
Lösungen zu den Übungen
5. Ebenen und Kreuzprodukt
Der Spann zweier Vektoren
Affine Ebenen
Das Kreuzprodukt
Eigenschaften des Kreuzprodukts
Norm und Richtung des Kreuzprodukts
Ebenen als algebraische Flächen ersten Grades
Die Hesse-Normalform einer affinen Ebene
Übungen
Lösungen zu den Übungen
6. Lineare Unabhängigkeit
Spann und Linearkombinationen
Lineare Unabhängigkeit
Lineare Unabhängigkeit in der Ebene und im Raum
Eine Charakterisierung über den Spann
Basen
Koordinatenvektoren
Komplexe Vektorräume
Übungen
Lösungen zu den Übungen
5. Abschnitt Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
1. Matrizen
Matrizen und ihre Einträge
Spezielle Matrizen
Die Addition von Matrizen
Skalarmultiplikation und Vektorraumstruktur
Das Matrix-Vektor-Produkt
Das Produkt zweier Matrizen
Eigenschaften des Matrizenprodukts
Die Transposition
Komplexe Matrizen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Lineare Abbildungen
Lineare Abbildungen
Darstellende Matrizen
Beispiel 1: Rotations-Matrizen
Beispiel 2: Projektions-Matrizen
Beispiel 3: Spiegelungs-Matrizen
Die Multiplikation als Verknüpfung von Abbildungen
Komplexe lineare Abbildungen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Inverse Matrizen
Invertierbarkeit
Invertierbarkeit für Matrizen
Inversenregeln
Kriterien für die Invertierbarkeit
Ein Invertierungsverfahren
Ein Basis-Test
Komplexe Matrizen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
4. Lineare Gleichungssysteme
Lineare Systeme und ihre Lösungen
Typische Fälle
Eindeutig lösbare Systeme
Anwendung 1: Koordinatenvektoren
Anwendung 2: Schnitt zweier Geraden
Die allgemeine Struktur des Lösungsraums
Matrizen in Zeilenstufenform
Das Eliminationsverfahren
Ein Beispiel zum Eliminationsverfahren
Komplexe Gleichungssysteme
Übungen
Lösungen zu den Übungen
5. Determinanten
Determinanten für 2 × 2 und 3 × 3-Matrizen
Das Vorzeichen der Determinante
Permutationen und ihre Vorzeichen
Allgemeine Determinanten
Eigenschaften von Determinanten
Die effektive Berechnung einer Determinante
Komplexe Determinanten
Übungen
Lösungen zu den Übungen
6. Eigenwerte
Eigenwerte und Eigenvektoren
Elementare Eigenschaften
Das charakteristische Polynom
Eigenwerte in der Euklidischen Ebene
Eigenwerte im dreidimensionalen Euklidischen Raum
Diagonalisierbarkeit und Spektralsatz
Komplexe Matrizen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
6. Abschnitt Mehrdimensionale Analysis
1. Kurven
Vektorwertige reelle Funktionen
Kurven
Tangentialvektoren
Die Länge einer Kurve
Beispiele zur Längenberechnung
Die Länge eines Funktionsgraphen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
2. Mehrdimensionale Differentialrechnung
Mehrdimensionale Definitionsbereiche
Visualisierungen
Partielle Differenzierbarkeit
Gradienten
Die Jacobi-Matrix
Vektorfelder
Das Gradientenfeld
Der Nabla-Operator
Übungen
Lösungen zu den Übungen
3. Mehrdimensionale Integration
Mehrdimensionale Integrale
Volumenberechnungen
Integration in ebenen Polarkoordinaten
Anwendung: Die Gaußsche Glockenkurve
Integration in räumlichen Polarkoordinaten
Inhalte von Rotationsflächen
Übungen
Lösungen zu den Übungen
Anhänge
1. Querschnitt
1. Abschnitt: Grundlagen
2. Abschnitt: Grundbegriffe der Analysis
3. Abschnitt: Ableitungen und Integrale
4. Abschnitt: Vektoren
5. Abschnitt: Matrizen und lineare Gleichungssysteme
6. Abschnitt: Mehrdimensionale Analysis
2. Elementare Funktionen
3. Prüfungsaufgaben
Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set I)
Lösungen zu den Aufgaben (Set I)
Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set II)
Lösungen zu den Aufgaben (Set II)
Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set III)
Lösungen zu den Aufgaben (Set III)
Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set IV)
Lösungen zu den Aufgaben (Set IV)
Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set V)
Lösungen zu den Aufgaben (Set V)
Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set VI)
Lösungen zu den Aufgaben (Set VI)
Aufgaben zu Abschnitt 4 − 6 (Set I)
Lösungen zu den Aufgaben (Set I)
Aufgaben zu Abschnitt 4 − 6 (Set II)
Lösungen zu den Aufgaben (Set II)
Aufgaben zu Abschnitt 4 − 6 (Set III)
Lösungen zu den Aufgaben (Set III)
Aufgaben zu Abschnitt 4 − 6 (Set IV)
Lösungen zu den Aufgaben (Set IV)
Aufgaben zu Abschnitt 4 − 6 (Set V)
Lösungen zu den Aufgaben (Set V)
Aufgaben zu Abschnitt 4 − 6 (Set VI)
Lösungen zu den Aufgaben (Set VI)
4. Notationen
5. Index