Modelle

 Ein Modell ist intuitiv eine Welt für ein mathematisches Axiomensystem, ein Bereich von Objekten, innerhalb dessen die Axiome gelten, oder etwas weniger hochgestochen, ein konkretes Beispiel. So sind etwa die Ebene und die Kugel zwei Modelle für gewisse Axiomensysteme der Geometrie. Ein Axiomensystem ist dabei einfach eine Menge von mathematischen Aussagen in einer bestimmten formalen Sprache. Wir wollen uns wieder damit begnügen, dass eine solche formale Sprache im Hintergrund vorhanden ist, und formulieren Aussagen wie gehabt.

 Wir betrachten etwa die Aussage

φ  =  „Für alle x gibt es ein y mit x + y = 0.“

und die Modelle ℕ, ℤ, ℝ. Wir interpretieren die Zeichen +, =, 0 für diese Modelle wie üblich. Bezogen auf ℕ ist die Aussage offenbar falsch, bezogen auf ℤ und ℝ ist sie richtig.

 Ist nun 𝒜 = { φ₀, φ₁, … } ein Axiomensystem, so heißt M ein Modell von 𝒜, falls alle φ  ∈  𝒜 bezogen auf M richtig sind. Ist φ bezogen auf ein Modell M richtig, so schreiben wir

M ⊨ φ,  gelesen „M gilt φ“, „M erfüllt φ“ oder „in M ist φ wahr“.

 Wir schreiben M ⊨ 𝒜 für ein Modell M und ein Axiomensystem 𝒜, falls M ⊨ φ für alle φ  ∈  𝒜 gilt, und sagen „M ist ein Modell von 𝒜“.

 Trivial, aber wichtig ist:

(I) In keinem Modell gilt zugleich φ und non φ.

 Dies ist die erste von zwei fundamentalen Eigenschaften eines Modellbegriffs. Die zweite besagt, dass der Modellbegriff logische Schlüsse respektiert: