12. Kardinalzahlen und ihre Arithmetik

 In diesem Kapitel fassen wir zum ersten Mal für jede Menge M die Mächtigkeit oder Kardinalzahl |M| von M als ein Objekt auf. Auf die Probleme einer genauen Definition haben wir in Kapitel 4 bereits hingewiesen. Die intuitive Begriffsbildung durch Abstraktion, wie sie Cantor vorgeschlagen hat, kann man nicht als extensionale mengentheoretische Definition auffassen. Der Leser wird aber wohl nach allem, was bisher geschah, mit dem Ausdruck „die Mächtigkeit der reellen Zahlen“ schon lange etwas anfangen können. Etwas locker kann man das Vorgehen dieses Kapitels so beschreiben: Schauen wir einfach mal, was passiert, wenn wir |M| als Objekt zulassen, und mit diesen Objekten rechnen wollen. Bei diesem Vorhaben verwenden wir Kardinalzahlen dann streng genommen nur als ein bequemes Notationssystem: 𝔞 · 𝔟 = 𝔟 · 𝔞 schreibt sich viel einfacher und sieht viel besser aus als |A × B| = |B × A|.

 Felix Hausdorff begnügte sich mit einem ähnlich „formalen Standpunkt“:

 Diese Definition von Kardinalzahlen per Ritterschlag ließe sich mathematisch etwa so formulieren. Sei S eine Menge (intuitiv eine umfassende Menge, bei Hausdorff System genannt). Sei K = S/∼ die Menge der Äquivalenzklassen der Relation „gleichmächtig“ auf S, d. h.

S/∼  =  { { B  ∈  S | A und B sind gleichmächtig } | A  ∈  S }.

Wir definieren nun eine Funktion F auf S/∼ durch:

F(X)  =  „ein A  ∈  X“  für X  ∈  S/∼.

Für A  ∈  S können wir die Kardinalzahl oder Mächtigkeit |A| von A definieren:

|A|  =  F(X_A), wobei X_A das eindeutige X  ∈  S/∼ ist mit A  ∈  X.

Dieses Vorgehen liefert eine abstrakte, aber einwandfreie Definition des Kardinalzahlbegriffs für Elemente einer beliebig großen, aber fest gewählten Menge S. Für alle A  ∈  S ist |A| definiert, und |A| ist zudem ein Objekt, das mit A gleichmächtig ist. (Verzichten wir hierauf, kann man auch |A| = X_A setzen.)

 Da S beliebig groß gewählt und gegebenenfalls erweitert werden kann, scheint dies ein brauchbares Vorgehen für alle praktischen Belange zu sein. Es ist aber alles andere als schön, eher eine Notlösung: Welche Mengen den Ritterschlag Kardinalzahl bekommen, bleibt unklar, da Kardinalzahlen über ein abstraktes „ein …“ erhalten worden sind. Und |A| ist immer nur für bestimmte Mengen definiert, nämlich für A  ∈  S. („S = Alles“ ist nicht möglich, wie wir in Abschnitt 13 sehen werden.) Zudem ist das Vorgehen auch praktisch nicht unproblematisch, da wir mit Kardinalzahlen frei operieren wollen, und es geht ja nicht zuletzt um die Freiheit und „Bequemlichkeit des Ausdrucks“. Soll bei jeder Operation wieder eine Kardinalzahl herauskommen, so müssen wir prüfen, ob S reichhaltig genug war, ein Ergebnis zur Verfügung zu stellen. Für kleine Operationen wie Summe und Produkt zweier Kardinalzahlen wäre dies leicht zu sichern, aber ein Produkt über sehr viele |A| werden wir i. A. nicht ausführen können, obwohl sich eine natürliche Definition für Produkte mit beliebig vielen Faktoren anbieten wird. Außerdem wird der nimmermüde Geist fragen: Was ist |S|?

 Diese mengentheoretische Interpretation des Hausdorffschen Zeichensystems liefert also wieder keine befriedigende Definition. Wir müssen das obige Zitat, wohl weitestgehend der Intention Hausdorffs entsprechend, den Beschreibungen von Cantor und Fraenkel aus Kapitel 4 an die Seite (oder gegenüber) stellen. Diese Beschreibungen fördern die Intuition und den Blick fürs Wesentliche ungemein, lösen aber das definitorische Problem nicht.

 Es bleibt der Verweis auf die prinzipielle Entbehrlichkeit von Kardinalzahlen. Die prinzipiell mögliche Rückübersetzung von Aussagen mit Kardinalzahlen in relationale Aussagen, die nur |A| = |B|, |A| ≤ |B|, usw. enthalten, ist es, die uns rettet, und die Aufnahme einer definitorischen Hypothek akzeptabel macht.

 Die Ergebnisse des Folgenden werden dann also auch bei allen Vorbehalten gegen |M| als Objekt, die der streng klösterliche Blick geltend machen kann, selbst vom Papst gebilligt werden müssen; an der mathematischen Keuschheit der Inhalte besteht kein Zweifel, auch wenn ihre Darstellung etwas sinnlichere Züge annimmt.