Allgemeine Summen und Produkte

Der Leser kann den „technischen Rest“ dieses Kapitels gefahrlos überspringen. Höhepunkte des Folgenden sind vielleicht die Ungleichung von König-Zermelo und der Multiplikationssatz. Wir diskutieren zudem einige Fragen, die man zur Arithmetik mit Kardinalzahlen stellen kann, und motivieren damit die allgemeine Theorie geordneter Mengen des zweiten Abschnitts. Das Folgende erscheint dort noch einmal in einem sehr milden Licht, das der Anschauung und den Photographien des Gedächtnisses sehr entgegenkommt.

Die richtigen Begriffe für bestimmte Probleme zu entwickeln und zu verwenden hat Vorrang. Daneben steht aber ein gewisses puristisches Interesse, die Kardinalzahlarithmetik zunächst ohne den Wohlordnungsbegriff zu entwickeln. Wie und dass dies geht, erscheint nicht uninteressant. Der Leser hat dann zudem die Möglichkeit, die beiden Methoden einander gegenüberzustellen.

Kardinalzahlen lassen sich nicht nur in Paaren oder endlich oft, sondern in beliebiger Menge sinnvoll addieren und multiplizieren. Für die Multiplikation brauchen wir zunächst einen allgemeinen Produktbegriff.

Definition (allgemeines Kreuzprodukt)

Sei I eine Menge, und seien A_i Mengen für i  ∈  I. Dann ist ⨉_{i  ∈  I} A_i, das allgemeine Produkt der Mengen A_i, i  ∈  I, definiert durch:

⨉_{i  ∈  I} A_i = { f | f : I → ⋃_{i  ∈  I} A_i, f (i)  ∈  A_i für alle i  ∈  I }.

Das Produkt ist also die Menge der Transversalfunktionen f, die auf der Indexmenge I definiert sind und an jeder Stelle i  ∈  I einen Wert in A_i annehmen. Wir können A₀ × A₁ zumeist gefahrlos mit ⨉_{i  ∈  { 0, 1 }} A_i identifizieren, obwohl streng genommen A₀ × A₁ eine Menge von geordneten Paaren (a₀, a₁) ist, ⨉_{i  ∈  { 0, 1 }} A_i dagegen eine Menge von Funktionen der Form { (0, a₀), (1, a₁) }.

Will man als „warm-up“ zeigen, dass das Produkt unendlich vieler nichtleerer Mengen immer nichtleer ist, so wird man bei der Konstruktion einer Transversalfunktion feststellen, dass eine (triviale) Definition der Form „ein …“ gebraucht wird. (Generell gilt, dass in der Kardinalzahlarithmetik abstrakte Auswahlgeneratoren fast überall am Werk sind.) Es stellt sich dann − nach diesem ersten Resultat über die Existenz einer Transversalfunktion − der Intuition entsprechend heraus, dass es für unendliche Systeme aus A_i’s mit mehr als einem Element massenweise Transversalfunktionen gibt. Vgl. hierzu die Übung unten.

Definition (Summe und Produkt von Kardinalzahlen)

Sei I eine Menge, und seien 𝔞_i Kardinalzahlen für i  ∈  I. Weiter seien A_i Mengen für i  ∈  I mit |A_i| = 𝔞_i. Wir definieren die Summe ∑_{i  ∈  I} 𝔞_i und das Produkt ∏_{i  ∈  I} 𝔞_i der Kardinalzahlen 𝔞_i, i  ∈  I, wie folgt:

∑_{i  ∈  I} 𝔞_i	= \|⋃_{i  ∈  I} A_i × { i } \|,
∏_{i  ∈  I} 𝔞_i	= \| ⨉_{i  ∈  I} A_i \|.

Die Summe ist also allgemein definiert über die Kardinalität einer disjunkten Vereinigung, und das Produkt über die Menge der Transversalfunktionen, die durch die indizierten Mengen laufen.

Es ist klar, dass diese allgemeinen Summen- und Produktdefinitionen für endlich viele Summanden und Faktoren mit den alten übereinstimmen. So gilt zum Beispiel 𝔞₀ · 𝔞₁ · 𝔞₂ = ∏_{i  ∈  { 0, 1, 2 }} 𝔞_i.

Übung

Seien I, J Mengen, und seien 𝔞_i, 𝔟_j Kardinalzahlen für i  ∈  I bzw. j  ∈  J. Dann gilt:

(i)	∏_{i  ∈  I} 𝔞_i ≠ 0 gdw 𝔞_i ≠ 0 für alle i  ∈  I,

(ii)	∑_{i  ∈  I} 𝔞_i ≠ 0 gdw 𝔞_i ≠ 0 für ein i  ∈  I,

(iii)

∑_{i  ∈  I} 𝔞_i ≤ ∏_{i  ∈  I} 𝔞_i falls 𝔞_i ≥ 2 für alle i  ∈  I,

(iv)	∑_{i  ∈  I} 𝔞_i ≤ ∑_{j  ∈  J} 𝔟_j falls ein injektives f : I → J existiert mit 𝔞_i ≤ 𝔟_f (i) für alle i  ∈  I,

(v)	∏_{i  ∈  I} 𝔞_i ≤ ∏_{j  ∈  J} 𝔟_j, falls 𝔟_j ≠ 0 für alle j  ∈  J, und ein injektives f : I → J existiert mit 𝔞_i ≤ 𝔟_f (i) für alle i  ∈  I.

Es folgt, dass ∑_{i  ∈  I} 𝔞_i = ∑_{i  ∈  I} 𝔞_f (i) für alle Bijektionen f : I → I gilt, und ein ebenso allgemeines Kommutativgesetz gilt für die Multiplikation. Nach Definition haben wir ∏_{i  ∈  I} 𝔞_i = 1 für I = ∅.

Es gelten weiter viele andere aus der endlichen Arithmetik bekannte Rechenregeln:

Übung

Sei I eine Menge, und seien 𝔞_i Kardinalzahlen für i  ∈  I.

(i)	∏_{i  ∈  I} 𝔞_i^𝔟 = (∏_{i  ∈  I} 𝔞_i)^𝔟 für alle Kardinalzahlen 𝔟,

(ii)	∏_{i  ∈  I} 𝔞_i = ∏_{X  ∈  Z} ∏_{i  ∈  X} 𝔞_i und ∑_{i  ∈  I} 𝔞_i = ∑_{X  ∈  Z} ∑_{i  ∈  X} 𝔞_i für jede Zerlegung Z von I in paarweise disjunkte Mengen.

Für die Unersättlichen seien schließlich auch noch die Distributivgesetze in ihrer allgemeinsten Form notiert:

Übung (allgemeine Distributivgesetze für Mengen und Kardinalzahlen)

Sei K eine Menge, und seien I_k Mengen für k  ∈  K.

Weiter seien A_{k, i} Mengen für i  ∈  I_k, k  ∈  K, und es sei 𝔞_{k, i} = |A_{k, i}| für i  ∈  I_k, k  ∈  K. Dann gilt:

(i)	⨉_{k  ∈  K}	⋃_{i  ∈  I_k} A_{k, i}	= ⋃_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k}	⨉_{k  ∈  K} A_{k, f (k)},
(ii)	∏_{k  ∈  K}	∑_{i  ∈  I_k} 𝔞_{k, i}	= ∑_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k}	∏_{k  ∈  K} 𝔞_{k, f (k)},
(iii)	⨉_{k  ∈  K}	⋂_{i  ∈  I_k} A_{k, i}	= ⋂_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k}	⨉_{k  ∈  K} A_{k, f (k)},
(iv)	⋂_{k  ∈  K}	⋃_{i  ∈  I_k} A_{k, i}	= ⋃_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k}	⋂_{k  ∈  K} A_{k, f (k)},
(v)	⋃_{k  ∈  K}	⋂_{i  ∈  I_k} A_{k, i}	= ⋂_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k}	⋃_{k  ∈  K} A_k,f (k).

Das sieht ein bisschen abschreckend aus, und deswegen ist vielleicht ein Gedankenexperiment für die ersten beiden Gleichungen vertrauenerweckend und hilfreich: Jedes k  ∈  K ist ein Land, I_k sind die Städte im Land k, A_{k, i} sind die Einwohner der Stadt i im Land k. Für die Produktbildung betrachten wir alle möglichen Menschenketten (mit Kerzen, wenn Sie wollen), bei denen jedes Land genau einen Bewohner aus irgendeiner seiner Städte beiträgt. All diese Ketten können wir gruppieren nach Ketten f aus Städten, bei denen jedes Land k eine Stadt f (k) beiträgt, was zur rechten Summe führt. Das Distributivgesetz (i) für Mengen stimmt auch im nichtdisjunkten Fall, bei dem jeder Bewohner Wohnsitze in mehreren Städten haben kann.

Wir verwenden zuweilen folgende suggestive Schreibweisen: ∑_{i  ∈  I} 𝔟 ist nichts als ∑_{i  ∈  I} 𝔞_i mit 𝔞_i = 𝔟 für alle i  ∈  I. Damit ist zum Beispiel ∑_{i  ∈  I} 1 definiert. Weiter ist für eine Menge 𝔄 von Kardinalzahlen ∑_{𝔞  ∈  𝔄} 𝔞 oder auch nur ∑ 𝔄 einfach eine bequeme Schreibweise für ∑_{i  ∈  𝔄} 𝔟_i mit 𝔟_i = i für alle i  ∈  𝔄. Analoges gilt für das Kreuzprodukt und das Mengenprodukt; so ist etwa

⨉ A = ⨉_{i  ∈  A} i = { f | f : A → ⋃ A, f (a)  ∈  a für alle a  ∈  A }.

In der Literatur wird das große griechische Pi oft auch für das Mengenprodukt verwendet; weiter findet man bei Zermelo und Hausdorff auch 𝔓 für ∏ bzw. ⨉.

Die Idee, dass Multiplikation iterierte Summation, und Exponentiation iterierte Multiplikation ist, behandelt die folgende Übung.

Übung

Sei A eine Menge, und sei 𝔞 = |A|. Dann gilt:

(i)	𝔞 = ∑_{i  ∈  A} 1,

(ii)	𝔟 · 𝔞 = ∑_{i  ∈  A} 𝔟 für alle Kardinalzahlen 𝔟,

(iii)

2^𝔞 = ∏_{i  ∈  A} 2, und allgemeiner

(iv)	𝔟^𝔞 = ∏_{i  ∈  A} 𝔟 für alle Kardinalzahlen 𝔟.

Ist J ⊆ I unendlich, 𝔞_i ≥ 2 für alle i  ∈  J, 𝔞_i ≥ 1 für alle i  ∈  I, so ist nach den beiden Übungen

∏_{i  ∈  I} 𝔞_i ≥ ∏_{i  ∈  J} 2 ≥ ∏_{i  ∈  ℕ} 2 = 2^ℵ₀.

Alle nichttrivialen „echt“ unendlichen Produkte haben also mindestens die Mächtigkeit der reellen Zahlen. Es gibt also i. A. sehr viele Transversalfunktionen. Andererseits gilt ∏_{i  ∈  I} 𝔞_i ≤ 𝔟^|I|, falls 𝔞_i ≤ 𝔟 für alle i  ∈  I gilt.

Nach dieser Seelandschaft mit Frakturbuchstaben kommen wir nun endlich zu einem interessanten Satz.