Teilmengen
Die neben „a ∈ b“ wichtigste Relation zwischen Mengen a und b ist die Teilmengen-Relation.
a ⊆ b, b ⊇ a
Definition (Teilmenge und Obermenge)
Seien a und b zwei Mengen.
(i) | a ist Teilmenge von b, in Zeichen a ⊆ b, falls gilt: Für alle x ∈ a gilt x ∈ b. |
(ii) | a ist echte Teilmenge von b, in Zeichen a ⊂ b, falls a ⊆ b und a ≠ b. |
(iii) | Ist a ⊆ b, so heißt b Obermenge von a, in Zeichen b ⊇ a. Ist a ⊂ b, so heißt b echte Obermenge von a, in Zeichen b ⊃ a. |
Cantor gebraucht den Ausdruck Teilmenge ab 1884. 1895 definiert er ihn dann gleich im Anschluss an seine „Zusammenfassungs“-Definition (allerdings versteht er unter Teilmengen nur echte Teilmengen, was sich als unpraktische Einschränkung herausstellt).
Das Teilmengensymbol wurde von Ernst Schröder (1841 − 1902) im Jahre 1890 innerhalb seiner „Algebra der Logik“ als „Subsumption zwischen Subjekt und Prädikat“ in der das Eurozeichen vorwegnehmenden Form € eingeführt. Dieses Zeichen wurde später von der Mengenlehre für die Teilmengenrelation verwendet und zu ⊆ stilisiert. Die Beispiele von Schröder sind von der Form „Gold ⊂ Metall“. Peano verwendete ein umgedrehtes C für ⊆, was wieder richtig gedreht wurde, und so wohl Grund dafür wurde, dass in manchen Texten ⊂, ⊄ anstelle von ⊆, ⊂ verwendet wird.
Beispiele: { 1, 3 } ⊆ { 1, 2, 3 } , { } ⊆ { 1 } , non({ 1, { } } ⊆ { 1, 2, 3 }).
Übung
⊆ ist transitiv: Seien a, b, c Mengen mit a ⊆ b und b ⊆ c. Dann gilt a ⊆ c.
Statt „a ⊆ b und b ⊆ c“ schreiben wir auch kürzer „a ⊆ b ⊆ c“.
Für die Grundobjekte haben wir nach obiger Konvention ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.
Für alle Mengen M gilt M ⊆ M und ∅ ⊆ M. Für letzteres ist zu überprüfen, ob jedes x ∈ ∅ auch in M ist. Es gibt aber gar keine x in ∅. Also ist wie gewünscht jedes x ∈ ∅ in M.
Hausdorff (1914):
„Wenn alle Elemente der Menge A auch Elemente der Menge B sind, so sagen wir: A ist in B enthalten, A ist eine Teilmenge von B, eine Menge unter B, oder B enthält A, B ist eine Menge über A. Wir bringen dies durch eine der beiden Formeln
A ⊆ B oder B ⊇ A
zum Ausdruck; wobei die Zeichen ⊂ und ⊃ an die üblichen Zeichen < > für kleiner und größer erinnern, aber doch von ihnen unterschieden werden sollen. Zu den Teilmengen von B rechnen wir auch die Menge B selbst und die Nullmenge: eine wichtige Verabredung, deren Zweckmäßigkeit sich vielfach bewähren wird.
Die Teilmengen der aus 4 Elementen bestehenden Menge { a, b, c, d } sind:
0
{ a } { b } { c } { d }
{ a, b } { a, c } { a, d } { b, c } { b, d } { c, d }
{ a, b, c } { a, b, d } { a, c, d } { b, c, d }
{ a, b, c, d }
Ihre Anzahl ist 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 .“
Das Extensionalitätsprinzip können wir nun auch so ausdrücken:
Gleichheitskriterium
Für alle Mengen a, b gilt: a = b gdw a ⊆ b und b ⊆ a.
Das Gleichheitskriterium in dieser Form vereinfacht in der Praxis sehr oft den Beweis einer Behauptung a = b für zwei Mengen a, b. In einem ersten Schritt zeigt man a ⊆ b, danach zeigt man b ⊆ a, und zusammengenommen ergibt sich somit a = b.