Mengensysteme
Wir brauchen noch allgemeinere Versionen des Durchschnitts und der Vereinigung. Diese werden für Mengensysteme definiert:
Definition (Mengensysteme)
Ein Mengensystem M ist eine Menge, deren Elemente alle Mengen sind, d. h. M enthält keine Grundobjekte als Elemente.
Definition (Großer Durchschnitt und große Vereinigung)
Sei M ein Mengensystem. Dann sind der Durchschnitt von M, in Zeichen ⋂ M, und die Vereinigung von M, in Zeichen ⋃ M, wie folgt definiert:
| ⋂ M | = { x | für alle a ∈ M ist x ∈ a } , |
| ⋃ M | = { x | es existiert ein a ∈ M mit x ∈ a }. |
Die Vereinigung ⋃ M und der Durchschnitt ⋂ M sind weitere Beispiele für einstellige Operationen ℱ auf Mengen.
⋂ M = { a, c }, ⋃ M = { a, b, c, d, e }
Beispiele
Für alle Mengen a, b, c gilt
⋂ { a, b } = a ∩ b,
⋃ { a, b, c } = a ∪ b ∪ c,
⋂ { a } = ⋃ { a } = a.
Streng nach Definition gilt
⋃ ∅ = ∅ und ⋂ ∅ = { x | x ist Objekt }.
Die erste Aussage ist klar. Zum Beweis der zweiten Aussage sei x beliebig. Wir zeigen x ∈ ⋂ ∅. Hierzu ist zu zeigen: Für alle a ∈ ∅ gilt x ∈ a. Es gibt aber gar keine a ∈ ∅, also ist die Aussage sicher richtig.
Übung
Es gilt ⋂ { { m ∈ ℕ | m ≥ n } | n ∈ ℕ } = ∅.
Erfahrungsgemäß ist der Umgang mit großen Vereinigungen und Schnitten und die Rolle der leeren Menge bei Erstkontakt etwas unangenehm. Diese Dinge werden aber mit der Zeit trivial.
Wir kommen nun zu einer harmlos aussehenden Operation, die zu den interessantesten der Mengenlehre gehört, weil sie für unendliche Mengen schlecht verstanden ist − wie wir sehen werden.