Die Grundobjekte

 Wir können die Grundobjekte zu Mengen zusammenfassen:

 Da wir ℕ, ℤ, ℚ, ℝ schlicht als gegeben voraussetzen, sind einige Bemerkungen angebracht.

Natürliche und ganze Zahlen

 Die natürlichen Zahlen sollen die 0 als Element enthalten. Wir schreiben natürliche Zahlen wie üblich zumeist in Dezimalschreibweise:

0, 1, 2, 3, … , 10, 11, … 

 Eine ganze Zahl schreiben wir in der Form + n oder − n wobei n eine natürliche Zahl ist:

+ 0, − 0, + 1, − 1, + 2, − 2, … 

Es gilt + 0 = − 0.

 Eine wichtige Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist: Jede nichtleere Menge von natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element. Ist A eine Menge von natürlichen Zahlen, die mindestens ein Element enthält, so sei

min(A)  =  „das (eindeutig bestimmte) kleinste Element von A“.

[gelesen: Minimum von A].

Ist also z. B. A die Menge bestehend aus 8, 11, 5, 7, so ist min(A) = 5.

Rationale Zahlen

 Die rationalen Zahlen schreiben wir entweder als Brüche in der Form + n/m oder − n/m, wobei n, m natürliche Zahlen sind mit m ≠ 0 oder als endlichen oder periodisch endenden unendlichen Dezimalbruch in der Form

± n, a₁ … a_k  bzw.

± n, b₁ … b_m a₁ … a_k a₁ … a_k a₁ … a_k … ,

wobei n, m, k natürliche Zahlen sind, und 0 ≤ a_i < 10 gilt für alle 1 ≤ i ≤ k.

So gilt etwa:

Reelle Zahlen und kanonische Darstellung

 Reelle Zahlen schreiben wir zumeist als Dezimalbruch ± n, a₁ a₂ a₃ … , wobei n eine natürliche Zahl ist und 0 ≤ a_i < 10 gilt für alle i ≥ 1.

 Ist die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl x von der Form

± n, a₁ … a_k 0 0 0 … ,

so sagen wir, dass diese Dezimaldarstellung von x trivial endet. Jede reelle Zahl x − außer der Null! − hat eine eindeutige nicht trivial endende Dezimaldarstellung. So gilt etwa:

 Die nicht trivial endende Dezimaldarstellung von x  ∈  ℝ, x ≠ 0, bezeichnen wir als die kanonische (unendliche) Dezimaldarstellung von x. Weiter nennen wir

0,000 …  die kanonische (unendliche) Dezimaldarstellung der 0.

 Für jede natürliche Zahl b ≥ 2 und jede reelle Zahl x existiert weiter eine b-adische Darstellung von x:

x  =  ± n, a₁ a₂ a₃ …  mit 0 ≤ a_i < b.

Dann ist x = ± (n + a₁/b + a₂/b² + a₃/b³ + … ).

 Wie für die 10-adische, also die Dezimaldarstellung, existiert für jede reelle Zahl x ≠ 0 eindeutig die nicht trivial endende kanonische b-adische Darstellung von x. Die 2-adische Darstellung heißt auch Binärdarstellung. So ist z. B. 0,111 …  die kanonische Binärdarstellung der 1. Für alle b ≥ 2 sei wieder

0,000 … die kanonische b-adische Darstellung der 0.

 In diesem Buch brauchen wir neben der Dezimaldarstellung und der Binärdarstellung nur noch die 3-adische oder Ternärdarstellung (bei der Diskussion der Cantormenge).

 Somit ist jede natürliche Zahl eine ganze Zahl, jede ganze Zahl eine rationale Zahl, und jede rationale Zahl eine reelle Zahl. (Periodische rationale Zahlen sind bereits vor dieser Konvention auch reelle Zahlen.)

 Wir brauchen schließlich noch einige Notationen. Der Betrag |x| einer reellen Zahl x ist definiert durch:

$\text{|x|}= { \begin{array}{cc}\mathrm{x},\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\ge 0,\hfill \\ -\mathrm{x},\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}<0.\hfill \end{array}$

 Die gleiche Notation verwenden wir später für Mengen, wo |M| die Mächtigkeit einer Menge bezeichnet. Dies ist aber ungefährlich.

 Sind x₁, …, x_n reelle Zahlen, so bezeichnen wir mit min(x₁, …, x_n) die kleinste der Zahlen x₁, …, x_n. Analog bezeichnet max(x₁, … , x_n) die größte der Zahlen x₁, …, x_n. So ist z. B. min(0, −1) = −1, max(2, 4, 3/2) = 4.