Fixpunkte

 Wir untersuchen Operationen ℱ von den Ordinalzahlen in sich selbst, etwa ℱ(α) = α + ω für α Ordinalzahl.

Definition (Fixpunkte)

Sei ℱ eine Operation auf den Ordinalzahlen. Eine Ordinalzahl α heißt Fixpunkt von ℱ, falls ℱ(α) = α.

 Betrachten wir die schnell wachsende Operation der Exponentiation zur Basis ω, also die Operation ℱ mit ℱ(α) = ωα für alle Ordinalzahlen α, so ist nicht klar, ob diese Operation überhaupt Fixpunkte besitzt. Tatsächlich sind Fixpunkte aber in großer Zahl vorhanden, und ε0 ist der kleinste unter ihnen:

Satz (Charakterisierung von ε0)

ε0 ist der kleinste Fixpunkt der Ordinalzahlexponentiation zur Basis ω, d. h.:

(i)

Es gilt ε0 = ωε0.

(ii)

Für alle β < ε0 ist β < ωβ.

Beweis

Sei αn für n  ∈  ℕ wie oben definiert, also α0 = ω, αn + 1 = ωαn  für n  ∈  ω. Es gilt α0 < α1, und aus αn < αn + 1 folgt αn + 1 = ωαn < ωαn + 1 = αn + 2 für alle n  ∈  ω. Also αn < αn + 1 für alle n  ∈  ω.

zu (i):  Es gilt:

ωε0 = sup β < ε0 ωβ = sup n  ∈  ℕ ωαn = sup n  ∈  ℕ αn + 1 = ε0.

Die erste Gleichung gilt nach Definition von ωλ für Limeszahlen λ, die zweite gilt wegen sup { β | β < ε0 } = sup { αn | n  ∈  ℕ } (und der Monotonie der Exponentiation).

zu (ii):  Sei β < ε0. Die Aussage ist klar für β < ω1 = ω. Andernfalls existiert ein n mit αn ≤ β < αn + 1. Dann ist β < αn + 1 = ωαn ≤ ωβ.

 Allgemein kann man Fixpunkte durch einen „Einholprozess“ konstruieren:

Übung

Sei α0 eine Ordinalzahl. Definiere rekursiv αn + 1 = ωαn  für n  ∈  ω. Sei

α*  =  supn < ω αn.

Dann gilt

ωα*  =  α*

und für alle β mit α0 < β < α* ist β < ωβ.

 Startet man hier mit α0 = ε0 + 1, so erhält man α* = ε1, den zweiten Fixpunkt der Exponentiation zur Basis ω, usw. Weiter ist ein Limes von Fixpunkten wieder ein Fixpunkt.

 Man sieht leicht, dass die beiden folgenden Eigenschaften einer Operation ℱ auf den Ordinalzahlen für derartige Fixpunktkonstruktionen ausreichen:

(i)α  ≤  ℱ(α)  für alle α,(Expansivität)
(ii)ℱ(λ) = supα < λ ℱ(α)  für alle Limesordinalzahlen λ.(Stetigkeit)

 Diese Bedingungen sind im obigen Fall für ℱ(α) = ωα erfüllt. Die erste Eigenschaft gilt insbesondere dann, wenn ℱ monoton ist, d. h. wenn ℱ(α) < ℱ(β) gilt für alle α < β (vgl. den Satz von Zermelo in Kapitel 4).

 Auch die Alephreihe ℱ(α) = ℵα erfüllt die beiden Eigenschaften. Wir erhalten also einen „Kardinalzahl-Giganten“ ℵα mit der bemerkenswerten Eigenschaft α = ℵα. Anders ausgedrückt: Es gibt eine Kardinalzahl α, welche die α-te unendliche Kardinalzahl ist!