Die ZFC-Axiome

Gängige Bezeichnungen für bestimmte Teilsysteme von ZFC sind:

 ZFC ist das Ergebnis einer natürlichen und sorgfältigen Analyse der intuitiven Begriffe Menge und Element. Diese Analyse ist dabei an den Bedürfnissen der mathematischen Praxis orientiert − Zermelo ließ sich bei der Aufstellung seiner Axiome von seinem Beweis des Wohlordnungssatzes leiten − und ist frei von philosophischen Dogmen und Verboten. Alle wesentlichen Ergebnisse der Cantorschen Mengenlehre bleiben erhalten und die Antinomien des vollen Komprehensionsprinzips lösen sich auf. Die auf der Elementrelation basierende Sprache erweist sich zudem bei all ihrer Einfachheit als suggestiv und ausdrucksstark, und trägt wesentlich zum Erfolg der axiomatischen Mengenlehre bei.

 Es hat sich gezeigt, dass diese Analyse auch vollständig unsere Intuition erschöpft: ZFC reicht für die ganze Mathematik als Basistheorie aus, und dies spricht dafür, dass keine einfachen und unmittelbar intuitiven Axiome mehr zu ZFC hinzukommen werden. ZFC scheint auch korrekt zu sein: Bis zum heutigen Tag sind in ZFC keine Widersprüche festgestellt worden. Ein mathematischer Beweis der Widerspruchsfreiheit von ZFC lässt sich, wie erwähnt, aufgrund des zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes generell nicht erbringen (es sei denn, ZFC ist widerspruchsvoll).

 Denkbar ist allenfalls, dass das Konzept eines fertigen unendlichen Objekts für sich schon zu Widersprüchen führt. Das mittlerweile sehr umfangreiche Gebäude der Mengenlehre zeigt aber, dass ein solcher Widerspruch, wenn es ihn überhaupt gibt, wahrscheinlich sehr tief liegt, im Gegensatz etwa zu den klassischen Paradoxien. Wir müssen mit der Möglichkeit eines Widerspruchs in ZFC leben.

 Cantor hat Ende des 19. Jahrhunderts aus seiner Mengendefinition Prinzipien über die Existenz von Mengen abgeleitet. Er denkt zu dieser Zeit intensiv über seine Unterscheidung beliebiger Vielheiten (Klassen) in „fertige Mengen/konsistente Vielheiten“ (Mengen) und „inkonsistente Vielheiten/absolut unendliche Vielheiten“ (echte Klassen) nach. In einem Brief an Hilbert im Jahre 1898 isoliert er einige Prinzipien, die beschreiben, wann eine Vielheit als fertig und damit als Menge gelten darf. Eine klare Antwort auf die Vielheits-Frage konnte er nicht geben. Der folgende Auszug aus dem Brief an Hilbert zeigt aber einmal mehr sein tiefes Verständnis des Mengenbegriffs: In Folgerung II dieses Briefes formuliert er bereits das Ersetzungsaxiom, das erst Jahrzehnte später zur Axiomatik von Zermelo als „vergessenes Axiom“ hinzukam, und das beim axiomatischen Aufbau der Mengenlehre heute eine wichtige Rolle spielt. In Folgerung IV formuliert er das Potenzmengenaxiom. Interessant ist, dass ihm die Begründung von IV mit Hilfe seiner Mengendefinition bereits zwei Tage später nicht mehr unproblematisch erscheint.