Das Extensionalitätsaxiom
Das erste Axiom ist das bekannte Gleichheitsprinzip:
(EXT) Extensionalitätsaxiom
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben.
Das Axiom drückt aus, dass eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt ist. Das Denken der Mengenlehre ist durchweg extensional. Ein Begriff wird mit seinem Umfang identifiziert (vgl. die extensionale Definition einer Funktion als Menge von geordneten Paaren).
Wir definieren die Teilmengenrelation a ⊆ b wie früher und erhalten aus dem Extensionalitätsaxiom:
Für alle x, y gilt x = y genau dann, wenn x ⊆ y und y ⊆ x.
Zermelo (1908b):
„Axiom I. Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig Element von N und umgekehrt … so ist immer M = N. Oder kürzer: jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.
(Axiom der Bestimmtheit.)“